人工智能教程 - 数学基础课程1.4 - 高等代数(二)-19+行列式,特征值和特征向量

行列式公式及其余子式

Formula for det A (n! iterms)

大公式(BIG FORMULA)

$detA=sum\pm a_{1\alpha }+a_{2\beta }+a_{3\gamma }+...a_{n\omega }$

n! terms

$\alpha ,\beta ,\gamma ,...\omega$ = 排列(Permutation of (1,2,3,…n))

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代数余子式(Cofactor formula)

$3\times 3$

$det=a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32})$$+a_{12}()$$+a_{13}()$

括号里的余子式(in parens)

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特征值和特征向量

(Eigenvalues —Eigenvectors)

$det[A-\lambda I]=0$

TRACE = ${\lambda }_1+{\lambda }_2+...{\lambda }_n$

Ax parallel to x
Those are eigenvectors

大等式(BIG EQUATION)

$Ax=\lambda x$

$\lambda$: 为所乘系数(multiplying factor), 特征值

x: 为特征向量

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对角化和A的幂

(Diagonaliging a matrix $S^{-1}AS=\lambda$)

Powers of A equation $u_{k+1}=A_{u_k}$

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马尔科夫矩阵

(Markov matrices)

Ex:
$A=\left[\begin{array}{ccc}0.1& 0.01& 0.3\\ 0.2& 0.99& 0.3\\ 0.7& 0& 0.4\end{array}\right]$

原则：

1. 所有元素$\ge$ 0 (All entires $\ge$ 0)
2. 每一列加起来都为1(all columns add to 1)

方法：

1. $\lambda =1$ is an eigenvalue
2. All other ${\lambda }_i<1$
   $u_k=A^k{u}_0=c_1{\lambda }_1^k{x}_1+c_2{\lambda }_2^k{x}_2$