Manacher算法——求最长回文子串

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Manacher算法是一种高效求解最长回文子串的方法。通过在原字符串中插入特殊字符，将所有回文串转换为奇数长度，从而简化问题。利用回文特性减少不必要的比较，达到O(n)的时间复杂度。

Manacher算法是用来求解一个给定字符串的最长回文子串，回文就是将字符串翻转后，与原来一样。这个算法通过添加字符，巧妙的将回文长度为偶数的情况转化成奇数，简化了问题的步骤，并且利用回文的性质，将去除了冗余的比较，从而将复查度降到O(len)，能够求出以每个字符为中心的最长回文，从而求出最长的回文子串。

现在，简述一下算法的过程：

在相邻的两个字符之间（包括首尾）添加特殊字符（也就是原串不会出现的同一个字符，比如'#'），通过这个简单的步骤，所有的回文都变成奇数长度了，这个可以简单证明下，假设回文串长度是偶数 n，那么在它们之间加入特殊字符的个数为n-1 + 2，n-1个间隙，还有首尾，所以这时长度为n+n+1=2*n+1为偶数，同理，奇数长度添加后为2*n+1还是奇数。也就是我们只需要求出长度为奇数的回文，而不用考虑偶数长度了。
假设，以字符s[ i ]为中心的最长回文为 s[ i - len[ i ] , i + len[ i ] ]，也就是说len[ i ]为这个回文的半径-1，由上面添加特殊字符后回文长度为2*n+1可知，2*len[ i ]+1=2*n+1，即len[ i ]就是以 i 为中心，去掉特殊字符后的回文串的长度，也就是我们要的答案。
现在是关键部分，假设，我们已知len[ j ] (1<=j<i)的值，并且知道rightmost=max{ j+len[ j ] }，还有与它对应的下标 k，现在有下面几种情况：

rightmost<i，这种情况下，说明 i 附近的字符没有比较过，也没有已知的情况，所以len[ i ]=0，从0开始往两边比较
rightmost>=i，这种情况说明之前已经比较过i 附近的字符了，看下图：

我们已知k和 i ，还有k对应的len[ k ]，也就知道s[ k-len[k], k+len[k] ]是个回文，现在找到i关于k的对称点2*k-i，如果2*k-i-len[ 2*k-i ]>=k-len[k]，也就是左边那个橙色的回文串没有超过k这个回文串的范围，我们立马知道，len[ i ]>=len[ 2*k-i]，也就是两个橙色的串是完全相同的，因为右边这个串是左边的翻转，而橙色部分又是回文串，翻转后完全相同，所以利用回文的性质，就省去了很多比较，我们只需要从len[ i ]=len[ 2*k-i]开始比较

但是如果2*k-i-len[ 2*k-i ]<k-len[k]，也就是左边的回文串超出k这个回文串的范围，如下图：

这时i+len[2*k-i] 明显超过k+len[ k ]，而超过的部分是未知的，所以要重新比较，也就是从len[ rightmost-i ] 开始比较

所以，通过两种情况可以发现，必需从len[ i ]=min( len[2*k-i] , rightmost-i )开始比较，直到出现左右两边不同为止，这时就是len[ i ]的值

复杂度证明：

我们可以发现，当len[2*k-i]<rightmost-i，也就是第一张图的情况，这时由于左右两边的橙色回文完全相同，并且绿色部分是翻转的，所以，len[ i ]不可能再增加，不需要匹配，复杂度为O(1)，当len[2*k-i]>=rightmost-i时，len[ i ]=rightmost-i，也就是从rightmost开始比较，由于rightmost再不断递增，最多递增length（字符串S长度）次，平摊下来，每次比较的复杂度为O(1)，所以总时间复杂度为length*O(1)，即O(length)，也就是O(n)的算法

整个算法就这么简单，模版如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

#define N 222222
char s[N],str[N];
int ans[N];
int Manacher(char src[], char tmp[], int len[], char unique, char begin)
{
    int i,j,k,rightmost,n=strlen(src),ret=0;
    tmp[0]=begin;
    tmp[1]=unique;
    for(i=0;i<n;++i)
    {
        tmp[i*2+2]=src[i];
        tmp[i*2+3]=unique;
    }
    n=n*2+2;
    tmp[n]='\0';
    for(i=0;i<n;++i)len[i]=0;
    rightmost=k=0;
    for(i=1;i<n;++i)
    {
        if(rightmost>=i)len[i]=min(len[2*k-i],rightmost-i);
        else len[i]=0;
        for(j=len[i]+1;tmp[i+j]==tmp[i-j];++j)++len[i];
        if(i+len[i]>rightmost)
        {
            rightmost=i+len[i];
            k=i;
        }
        ret=max(ret,len[i]);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    while(~scanf("%s",str))
        printf("%d\n",Manacher(str,s,ans,'#','$'));
    return 0;
}

对应题目：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3068

这题就是裸的模版题