第二类贝塞尔函数讨论

第二类贝塞尔函数讨论
再次给出贝塞尔微分方程即第一类贝塞尔函数如下：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}{x}^2{y}^{{}^{\prime \prime }}+x{y}^{{}^{\prime }}+(x^2-n^2)y=0\\ J_n(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!(k+n)!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+n}\end{array}\end{array}$$当$n$为非整数时，贝塞尔方程的通解为：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}y=C{J}_n(x)+D{J}_{-n}(x),C,D\in 常数\end{array}\end{array}$$因为它们的朗斯基行列式为 W { J n ( x ) , J − n ( x ) } = ∣ J n ( x ) J − n ( x ) J n ′ ( x ) J − n ′ ( x ) ∣ = − 2 π x sin ⁡ ( π n ) W\begin{equation}\left\{J_n(x),J_{-n}(x)\right\}=\left|\begin{matrix} J_n(x)&J_{-n}(x)\\ J^{'}_n(x)&J^{'}_{-n}(x) \end{matrix}\right|=-\dfrac{2}{\pi x}\sin(\pi n)\end{equation} W{Jn​(x),J−n​(x)}=∣ ∣​Jn​(x)Jn′​(x)​J−n​(x)J−n′​(x)​∣ ∣​=−πx2​sin(πn)​​这里利用了$\sin x={\sum }_{k=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$。
从（3）式中可以看出，当$n$为非整数时它们是线性无关的，通解可以这样表示，而对于整数的$n(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$行列式为零，它们变成了线性相关的，这时需要使用其他的线性无关解。
在这里引入第二类的贝塞尔函数：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}{Y}_n(x)=\frac{J_n(x)\cos (n\pi )-J_{-n}(x)}{\sin (n\pi )}\end{array}\end{array}$$我们需要用洛必达法则来确定ν趋于整数n时的极限是否为非零，从而得到有意义的解。
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{Y}_v(x)& =\underset{v\to n}{\lim }\frac{J_v(x)\cos (v\pi )-J_{-v}(x)}{\sin (v\pi )}\\ & =\underset{v\to n}{\lim }\frac{-\pi \sin (v\pi )J_v(x)+\cos (v\pi )\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}{J}_v(x)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}{J}_{-v}(x)}{\pi \cos (v\pi )}\\ & =\underset{v\to n}{\lim }\frac{1}{\pi }\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}{J}_v(x)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}{J}_{-v}(x)\right]\end{array}\end{array}$$
通过构造得到的第二类贝塞尔函数与第一类贝塞尔函数的线性关系是：
W { J n ( x ) , Y n ( x ) } = 2 π x \begin{equation} \begin{aligned} W\{J_n(x),Y_n(x)\}=\dfrac{2}{\pi x} \end{aligned} \end{equation} W{Jn​(x),Yn​(x)}=πx2​​​​这样无论$n$为整数还是非整数，这两个贝塞尔函数都线性无关，所以得到贝塞尔微分方程的第二种通解形式：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}y=C{J}_n(x)+D{Y}_n(x),C,D为整数\end{array}\end{array}$$