详解协方差矩阵，相关矩阵，互协方差矩阵（附完整例题分析）【1】

原创 2024-01-01 20:47:38 2.4w 阅读 AI写同款

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协方差矩阵 对两个类内协方差矩阵进行对角化，可以将它们变换为对角矩阵。这个过程可以通过对每个协方差矩阵进行特征值分解来实现，从而得到它们的特征向量和特征值，进而得到它们的对角矩阵形式。这个过程的意义在于，它可以帮助我们找到一个新的坐标系，使得在这个坐标系下，每个特征之间都是独立的，从而简化了计算。具体来说，当我们使用对角协方差矩阵作为特征向量的坐标系时，它意味着每个特征之间都是相互独立的，从而方便了进一步的分析和处理。在实际应用中，对角化协方差矩阵可以用于降维、特征选择和分类等任务。阅读详情

AI摘要

本文详细解释了样本向量的均值与协方差概念，包括均值的计算、向量的扩展、协方差矩阵的定义及其与线性变换的关系，还介绍了相关矩阵和互协方差矩阵的求解方法。通过实例帮助读者理解这些概率论中的关键概念在信道估计中的应用。

一. 写在前面

在看MMSE（Minimum Mean Square Error）进行信道估计时，经常看到论文中的这三个表达：

Correlation Matrix：相关矩阵
Covariance Matrix：协方差矩阵
Cross-Covariance Matrix:互协方差矩阵

每次都看的懵懵懂懂，今天尝试用这篇文章，通俗易懂的去解释这三个概率论中的理解。

二. 样本向量的均值与协方差

2.1 均值与方差

我取了n个样本数据 $x_1,\cdots,x_n$ ，该怎么计算它们的均值？简单，把它们加在一起再除以n就好了：

$\bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

概率论上把这个叫做无偏样本均值(unbiasd sample mean）。

紧接着利用耳熟能详的方差公式可以计算：

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$

理解：用样本减去平均数再平方，可以衡量样本的波动程度，再除以n-1代表平均波动程度。

注意：是除以n-1，因为当你利用样本均值来代替总体均值时，会损失一个自由度。

2.2 向量的均值

假设现在一个样本不是单一的一个数，而是一个向量。也就是，当你抽取一个样本时，也就相当于抽取了一个p维向量。对应的随机变量也是一个p维向量，如下：

$\vec X=\begin{bmatrix} X_1\\ \vdots \\ X_p \end{bmatrix}$

现在，我抽取n个样本向量，每个向量都是p维，也就是抽取了：

$\vec x_1,\cdots, \vec x_n\in R^p$

注意，我们通常所说的向量如果写成矩阵的格式，一般都代表列向量。

一共n个向量，每个向量包含p个数据，组合在一起不就是矩阵！我们把这个矩阵叫数据矩阵(data matrix），如下：

$\bold{X}=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots &x_{1p} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots &x_{2p} \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots &x_{np} \end{bmatrix}$

当你横着看第一行，这就是我们抽取的第一个样本向量，所以下标的第一个数字代表第几次抽取。

当你竖着看第一列，这就是第一个随机变量 $X_1$ 的n个样本数据，如果只看他这一个的话，这就是一个一维的样本。所以，下标的第二个数字代表第几个随机变量。

所以，这个样本数据矩阵与原始的样本向量关系，如下：

$\bold{X}=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots &x_{1p} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots &x_{2p} \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots &x_{np} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \vec x_1^T\\ \vec x_2^T\\ \vdots\\ \vec x_n^T \end{bmatrix}$

矩阵X第j列代表变量 $X_j$ ，如果我想要求这个单一变量的样本均值：

$\bar x_j=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_{ij}, \quad j=1,\cdots,p$

简单来讲就是，如果你想要求变量 $X_j$ 的均值，你就把数据矩阵的第j列进行相加，然后除以n就可以了，很明显这个过程与“2.1”的理解是一模一样的。

以此类推，样本向量的均值计算就很简单了：

$\bar{\vec x}=\begin{bmatrix} \bar x_1\\ \vdots\\ \bar x_p \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_{i1}\\ \vdots\\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_{ip} \end{bmatrix}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix} x_{i1}\\ \vdots\\ x_{ip} \end{bmatrix}$

如果你对数学推导不感兴趣，请直接看最后的结论：

$\bar {\vec{x}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\vec x_i$

样本向量的均值也是先相加，再除以n。

2.3 协方差矩阵

取数据矩阵第j列的数据，来代表变量 $X_j,\quad j=1,\cdots,p$ 的样本，可以计算对应的方差：

$s_j^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_{ij}-\bar x_j),\quad j=1,\cdots,p$

每一个样本都是p维的向量，也就是有p个随机变量，数据的波动程度，是需要考虑不同变量之间的影响，这个时候方差就推广到了协方差。比如，变量 $X_j$ 与 $X_k$ 的协方差可以表示为 $s_{jk}$ ，换个顺序结果肯定相等。变量 $X_j$ 与 $X_k$ 的协方差，变量 $X_k$ 与 $X_j$ 的协方差，这两个之间是相等的：

$s_{jk}=s_{kj}$

协方差的计算跟：第j列和第k列相关，再结合方差的定义。 $(x_{ij}-\bar x_j)$ 代表第j列的数据波动程度， $(x_{ik}-\bar x_k)$ 代表第k列的数据波动程度，由此可得其协方差：

$s_{jk}=s_{kj}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_{ij}-\bar x_j)(x_{ik}-\bar x_k)\quad j\neq k$

一共有p个变量，任意两个变量进行组合都会出现方差，这种组合的情况一共有 $p^2$ 种，写成矩阵就是p行p列，这个矩阵就是所谓的协方差矩阵(covariance matrix)：

$\bold{S}=\begin{bmatrix} s_{11} & s_{12} & \cdots &s_{1p} \\ s_{21} & s_{22} & \cdots &s_{2p} \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ s_{p1} & s_{p2} & \cdots &s_{pp} \end{bmatrix}$

协方差的计算与理解是本文章的重点。接下来我们尝试带入计算，会用到线性代数的部分知识，还是一样，对概率论不感兴趣的同学，可直接看最后的结论。

协方差矩阵中 $s_{11}$ 代表变量1自己跟自己的方差， $s_{12}$ 代表变量1跟变量2之间的方差（更准确叫协方差）。方差的本质无非就是样本减去均值，如此带入协方差矩阵中：

$\bold{S}=\begin{bmatrix} \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_{i1}-\bar x_1)^2 &\cdots & \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_{i1}-\bar x_1)(x_{ip}-\bar x_p)\\ \vdots& \ddots & \vdots\\ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_{ip}-\bar x_p)(x_{i1}-\bar x_1)&\cdots &\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_{ip}-\bar x_p)^2 \end{bmatrix}$

协方差矩阵只是看起来复杂，其本质就是把我们刚才不同位置计算的方差带入而已。

观察到每个地方都有求和，前面都有一个分数，提取出来，化简协方差矩阵：

$\bold{S}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix} (x_{i1}-\bar x_1)^2&\cdots &(x_{i1}-\bar x_1)(x_{ip}-\bar x_p) \\\vdots& \ddots & \vdots \\ (x_{ip}-\bar x_p)(x_{i1}-\bar x_1)&\cdots & (x_{ip}-\bar x_p)^2\end{bmatrix}$

这是一个对称矩阵，本质就是两个括号相乘，熟悉线性代数的同学知道，这个矩阵可以分解成一个列向量乘以一个行向量，由此可得：

$\bold{S}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix} x_{i1}-\bar x_1\\ \vdots\\ x_{ip}-\bar x_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{i1}-\bar x_1&\cdots & x_{ip}-\bar x_p \end{bmatrix}$

观察第一个列向量：就是第i个样本向量减去样本均值向量

观察第二个行向量：也是第i个样本向量减去样本均值向量，只不过需要转置

小结：

协方差矩阵是一个对称矩阵；
协方差矩阵的维度与向量维度有关，跟样本向量个数无关；
协方差矩阵里元素的值与样本向量和样本向量的均值有关；

具体计算如下：

$\bold{S}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(\vec x_i-\bar{\vec{x}})(\vec x_i-\bar{\vec{x}})^T$

三. 协方差矩阵的线性变换

如以上讨论中“2.2”,每个样本就是一个p维向量，总共取n个样本向量，放在一起就可以形成一个n行p列的数据矩阵，该矩阵每一行代表一个向量样本，每一列代表一个随机变量的n个取值。

已知向量型随机变量X，我们对其做一些线性变化形成随机变量Y：

$\vec Y=\begin{bmatrix} Y_1\\ \vdots \\ Y_q \end{bmatrix}=C\vec X+\vec d$

其中 $\bold{C}\in R^{q\times p},\vec d\in R^q$ 。首先这是一种线性变换，其次注意随机变量Y的维度也发生了变换。

3.1 均值的线性变换

从样本的角度，思考,x和y之间满足：

$\vec y_i=\bold{C}\vec x_i+\vec d$

其中下标i代表样本个数。样本X取了n次，相当于样本Y也取了n次，所以两者i是一致的。

对n个样本 $\vec y_1,\cdots,\vec y_n$ ，其样本均值也就比较好计算了：

$\bar{\vec y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\vec y_i$

带入X与Y之间的关系：

$\bar{\vec y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\bold{C}\vec x_i+\vec d)=\bold{C}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\vec x_i)+\vec d=\bold{C}\bar{\vec x}+\vec d$

换句话说，一旦给出了X的均值，我们可以利用 $\bar{\vec y}=\bold{C}\bar{\vec x}+\vec d$ 求y的均值，跟以前学习的均值结论一致。

3.2 协方差的线性变换

调用协方差公式计算变量Y的协方差矩阵：

$\bold{S}_y=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(\vec y_i-\bar{\vec{y}})(\vec x_y-\bar{\vec{y}})^T$

带入X与Y之间的关系：

$\bold{S}_y=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(\bold{C}\vec x_i-\bold{C}\bar{\vec x})(\bold{C}\vec x_i-\bold{C}\bar{\vec x})^T$

注意向量d相减被抵消掉了。提取矩阵C，继续化简：

$\bold{S}_y=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\bold{C}(\vec x_i-\bar{\vec x})(\vec x_i-\bar{\vec x})^T\bold{C}^T$

总结变量Y与X之间的协方差矩阵满足：

$\bold{S}_y=\bold{CS}_x\bold{C}^T$

四. 互协方差矩阵

给定两个向量型随机变量X与Y，它们之间的关系还不明朗，如果需要求它们两之间的互协方差矩阵的话，可以分两步走：

将X与Y合并为1个列向量Z
对向量Z求协方差矩阵

鉴于此思想，我们将从向量分割的角度来解释互协方差矩阵。

给定一个向量型的随机变量：

$\vec X=\begin{bmatrix} X_1\\ X_2\\ \vdots\\ X_p \end{bmatrix}$

我们从某处，把该向量分成两个部分（不一定是均分），如下：

$\vec X^{(1)}=\begin{bmatrix} X_1\\ X_2\\ \vdots\\ X_q \end{bmatrix},\quad \vec X^{(2)}=\begin{bmatrix} X_{q+1}\\ X_{q+2}\\ \vdots\\ X_p \end{bmatrix}$