格密码基础：最短向量与格基正交化

原创 2024-11-26 19:12:29 2.6k 阅读 AI写同款

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格（Lattice）基础（一）有关格的基础概念，和相关的格难题阅读详情

AI摘要

本文深入探讨了格密码中的关键概念，包括最短向量长度、格基正交化及其性质、最短向量长度下界证明、格点的离散性和格的连续最小值。通过详细的数学推导和解释，阐述了这些概念在格密码学中的重要地位和应用。

前言

最短的非零向量长度是格密码中的一个基本量（定义前提为非零向量，因为格中总包含零向量，其模长为0），通常使用代量 $\lambda_1$ 表示。用格的观点来理解 $\lambda_1=r$ ：以r为半径的球内的格，只能形成一维的格的延展空间，简单来讲就是这个球内只有一个格点。

铺垫欧几里得范数，又叫 $l_2$ 范数，给定任意向量x定义为如下：

$||x||_2=\sqrt{\sum x_i^2}$

通过在格密码相关的论文中， $||x||_2$ 一般被简写为||x||。

其实还有 $l_1$ 范数，定义为如下：

$||x||_1=\sum|x_i|$

$l_\infty$ 范数定义为如下：

$l_\infty=max|x_i|$

一. 格的最短向量

首先定义圆心为原点，半径为r的m维实心球的式子，如下：

$\bar B(0,r)=\lbrace x\in R^m:\ ||x||\leq r\rbrace$

对于秩为n的格 $\Lambda$ ，其连续最小值定义为如下：

$\lambda_i(\Lambda)=inf\lbrace r|dim(span(\Lambda\cap\bar B(0,r)))\geq i\rbrace$

如下图表示了最小值和次小值的长度：

此定义表明了格的最短向量，次短向量，······的长度。

备注：格的连续最小值还跟维度相关，不能只理解为长度

在分析最短向量下界之前，需要理解格基的正交化（有的时候也叫做Gram-Schmidt正交化）。

二. 格基正交化

2.1 基本理解

给定n个线性独立的向量，把它们转化成n个正交的向量，这个过程就是线性代数中所谓的Gram-Schmidt正交化过程。先来看一个二维向量的例子：

保持向量 $b_1$ 不变，也就是 $\tilde b_1=b_1$ ，将向量 $b_2$ 投影到向量 $b_1$ 的正交子空间上，就可以形成 $\tilde b_2$ 。教科书式的表达，我们也可以看一下：

Project each vector on the space orthogonal to the span of the previous vectors.

正交化的过程一般是按照顺序进行的，先 $b_1$ ，再 $b_2$ 接着一直往后。给定n个线性独立的向量 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ ，Gram-Schmidt正交化的计算公式如下：

注意j的取值代表i前面所有的向量， $b_i$ 垂直于 $\tilde{b_1},\tilde{b_2},\cdots,\tilde{b}_{i-1}$ 的分量即为 $\tilde{b}_i$ 。

2.2 常用性质

（1）向量的正交性

对任意 $i\neq j$ ，都有：

$\langle \tilde b_i,\tilde b_j\rangle=0$

（2）空间维度保持不变

令span()代表向量形成的空间，则可得：

$span(b_1,b_2,\cdots,b_i)=span(\tilde{b_1},\tilde{b_2},\cdots,\tilde{b}_{i})$

（3）格基改变

注意向量正交化已经把格基改的面目全非，正交化后的格基已经不能形成原来的格点，看上面那张图就很清楚了。也就是向量 $\tilde{b_1},\tilde{b_2},\cdots,\tilde{b}_{n}$ 不一定是格 $L(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 的格基。

（4）正交化的顺序

通过正交化的公式不难看出，正交化的顺序很重要，所以这个过程中应该把格基矩阵看成序列而不是集合。因为序列是受顺序影响的，集合具有无序性。

既然格基的正交化会改变格点，那岂不是很难利用在格密码上？别急，把以上公式改成与标准正交基相关即可。

给定n个线性独立的向量 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ ，其中每个向量都属于m维度 $R^m$ ，我们都知道标准正交基如下：

$\frac{\tilde b_1}{||\tilde b_1||},\cdots,\frac{\tilde b_n}{||\tilde b_n||}$

借助此理论，原始的格基可以表示为如下m行n列的矩阵：

其中 $\mu$ 就是格基正交化公式中的那个 $\mu$ 。

如果原始格满秩的话，也就是m=n，格基可以变成一个上三角的方阵。

三. 最短向量长度下界

若B为秩为n的格基， $\tilde {B}$ 代表对应的Gram-Schmidt正交化结果，那么最短向量长度满足如下不等式：

$\lambda_1(L(B))\geq min ||\tilde{b_i}||>0$

此处将用两种方法来证明该定理。

$\lambda_1(L(B))$ 与 $min ||\tilde{b_i}||$ 均代表长度，所以肯定都大于0，这个好证明。接下来，我们把重心放在证明 $\lambda_1(L(B))\geq min ||\tilde{b_i}||$ 上。

证明方法一：

任取 $x\in Z^n$ 为整数非零向量，Bx即代表任意格点，我们只需要证明下列不等式恒成立即可：

$||Bx||\geq min||\tilde b_i||$

取 $j\in \lbrace 1, \ldots ,n\rbrace$ 且 $x_j$ 为下标最大的非零元素。我们把格点和正交化后的格基向量相乘，由此可得如下等式：

简单分析：

第一个等号：格点=格基乘以整数组合
第二个等号：向量正交的定义
第三个等号：向量乘以向量等于向量长度的平方

对于任意的i<j，根据正交矩阵的理解，将正交矩阵的每一列都看成一个向量，都有如下向量相乘的结论：

$<b_i,\tilde b_j>=0,\quad <b_j,\tilde b_j>=<\tilde b_j,\tilde b_j>$

注意第二个等式，类似投影向量的理解。

根据向量相乘的结论，我们易得：

$|\langle Bx,\tilde b_j\rangle|\leq ||Bx||\cdot ||\tilde b_j||$

最终可得：

$||Bx||\geq |x_j|||\tilde b_j||\geq ||\tilde b_j||\geq min ||\tilde b_i||$

到此，证明完毕。

证明方法二：

根据线性代数矩阵分解的理解，我们可以把格基矩阵分解成一个标准正交基矩阵和另一个矩阵，令 $\bold{\hat{B}}$ 代表标准正交基，也就是向量长度为1，我们可得如下分解（仅考虑满秩格）：

从以上可以看出，在任何非零的组合中，最靠下的量最小的正值为 $\lVert \tilde{b}_i\rVert$ 。

四. 格点离散

对于任意两个不同格点x,y，总存在 $\xi>0$ ，满足 $\lVert x-y\rVert>\xi$ 。通过定义名称易理解，格是一个离散的集合。

证明：

根据格点的定义，当x和y均为格点时，x-y也必定属于格点，那么现在有两种理解方式：

x-y整体看成新的格点
x-y看成两个向量相减，可以代表向量x与向量y之间的间隔

该间隔一定大于0，换句话说格点离散。总结如上分析，也就是：

五. 格的连续最小值

格的连续最小值可以用格内某向量长度表示，对于任意的 $1\leq i \leq n$ ,必定存在向量 $v_i\in \Lambda$ ，使得 $\lVert v_i\rVert=\lambda_i(\Lambda)$ 。

证明：

依据格的最短向量概念，半径为 $2\lambda_i(\Lambda)$ 的n维球内仅包含有限个格点。依据 $\lambda_i$ 的定义，球内必定包含长度为 $\lambda_i(\Lambda)$ 的向量。

总结

格密码的发展简史如下：

18世纪到1982年，拉格朗日、高斯、闵可夫斯基、埃尔米特等科学家开始研究格点的数学性质。

1982年到1996年进入LLL密码分析与网络安全领域。LLL算法主要用于格基约化，为格密码的科学研究埋下了铺垫。

1996年到2005年第一代格密码开始出现，包含Ajtai96，AD97G, GH97。

2005年到2016年第二代格密码关注于实用化格密码算法，包含Regev0, GPV08, MP12, BLISS, NewHope, Frodo。

2016年至今，格密码开始不断标准化。

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#网络安全 #密码学

格签名重要论文简介1-GPV08 Craig Gentry and Chris Peikert and Vinod Vaikuntanathan,2008,Trapdoors for Hard Lattices and New Cryptographic Constructions,IACR链接 1主要贡献使用原像采样的陷门函数高效hash-and-sign数字签名方案 IBE 2技术综述高斯采样算法 3签名方案 ... 阅读详情

格密码基础：最短向量与格基正交化

前言

一. 格的最短向量

二. 格基正交化

2.1 基本理解

2.2 常用性质

（1）向量的正交性

（2）空间维度保持不变

（3）格基改变

（4）正交化的顺序

三. 最短向量长度下界

证明方法一：

证明方法二：

四. 格点离散

五. 格的连续最小值

总结

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