HDU - 5478 Can you find it

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#hdu5478 #can you find if #快速幂

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本文解析了HDU-5478题目，这是一个关于求解特定数学公式的竞赛题，通过欧拉定理和快速幂运算，讨论了如何找到满足条件的所有整数对(a, b)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

HDU - 5478 Can you find it

传送门HDU - 5478

HDU - 5478 Can you find it

题意

给你 $C$ , $k1$ , $b1$ , $k2$ ,( $C$ 为质数)。
让你求公式

a^{k_{1} \times n + b_{1}} + b^{k_{2} \times n - k_{2} + 1} = 0 (\mod C) (n = 1, 2, 3, 4 \dots)

$a^{k_1 \times n + b_1} + b^{k_2 \times n - k_2 + 1} = 0 \pmod C (n = 1,2,3,4\cdots)$
所有使等式成立的

(a,b)(1≤a,b<C) ( a , b ) ( 1 ≤ a , b < C ) $(a,b)(1 \le a,b \lt C)$ ，没有输出-1。

题解

第一眼看见这个题，因为C是质数，第一反应是欧拉降幂。但是欧拉降幂好像没啥卵用orz。
贴个欧拉降幂公式。

A B (mod C) = A B (mod ϕ (C)) + ϕ (C) (mod C)

$A^B \pmod C = A^{B\pmod{\phi(C)}+\phi(C)}\pmod C$
两个未知量，那么就要两个等式就能求出来

a a $a$ 和

b

$b$ 。那么我们就直接列出

n=1 n = 1 $n = 1$ 和

n=2 n = 2 $n = 2$ 的式子。

a k 1 + b 1 + b = 0 (mod C) (1)

$a^{k_1 + b_1} + b = 0\pmod C\tag{1}$

a 2 \times k 1 + b 1 + b k 2 + 1 = 0 (mod C) (2)

$a^{2\times k_1+b_1} + b^{k_2+1} = 0\pmod C\tag{2}$
通过

(1) ( 1 ) $(1)$ 和

a a $a$ 和

b

$b$ 的范围，我们可以算得

b = (c - a k 1 + b 1) (3)

$b = (c - a ^{k_1 + b_1})\tag{3}$
然后我们把

(1)(2) ( 1 ) ( 2 ) $(1)(2)$ 移项，

(2) ( 2 ) $(2)$ 除以

(1) ( 1 ) $(1)$

a 2 \times k 1 + b 1 a k 1 + b 1 = - b k 2 + 1 - b

${a^{2\times k_1 + b_1}\over a^{k_1+b_1} }={-b^{k_2 + 1} \over -b}$
上下约分得

a k 1 = b k 2 (4)

$a^{k_1} = b^{k_2}\tag{4}$
这样算法就明了了，我们可以枚举

a a $a$ ，然后通过

(1)

$(1)$ 求出

b b $b$ 。
再用快速幂验证

(4)

$(4)$ 是否成立，如果成立就输出。

ac代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <map>
#include <set>
#include <iomanip>
//#include <unordered_map>

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define fir first
#define sec second
#define lson l, mid, rt << 1
#define rson mid + 1, r, rt << 1 | 1
#define clr(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define cld(x) memset(x,-1,sizeof(x))
#define clx(x) memset(x,63,sizeof(x))
#define cln(x) memset(x,-64,sizeof(x))
#define rush() int T;scanf("%d",&T);while(T--)
#define pi 3.1415926
#define VM 100047
#define EM 400047
#define rd(x) scanf("%d",&x);

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,ll>pll;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll llf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn = (int) 1e6 + 7;
const double eps = 1e-10;
const ll mod1 = (int) 1e9 + 7;
const ll mod2 = 998244353;
const ll has = 99959;
const int dx[] = {0, 1, 0, -1};
const int dy[] = {1, 0, -1, 0};

ll pow(ll x, ll n, ll mod) {
    ll res = 1;
    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 1) {
            res = res * x;
            res = res % mod;
        }
        x = x * x;
        x = x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif

        ll c,k1,b1,k2;
        int NUM = 0;
        while(cin >> c >> k1 >> b1 >> k2){
            bool flag = false;
            cout << "Case #" << ++NUM << ":" << endl;
            for (int i = 1; i < c; i++) {
                ll a = i;
                ll l = pow(a,k1 + b1,c);
                ll b = (c - l);
                if(pow(a,k1,c) == pow(b,k2,c)){
                    flag = true;
                    cout << a << " " << b << endl;
                }
            }
            if(!flag){
                cout << -1 << endl;
            }

        }

    return 0;
}