Tr A（矩阵）

最新推荐文章于 2021-07-22 10:16:22 发布

fanlinqiang

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Tr A

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Problem Description

A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。

Output

对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。

Sample Input

Sample Output

Author

xhd

Source

HDU 2007-1 Programming Contest

由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。

递归实现POW函数

Matrix POW( Matrix t,int k )

{

if( k == 1 )

return t;

Matrix t1 = POW( t, k/2 );

t1 = t1*t1;

if( k & 1 )

return t1 * t;

else

return t1;

}

递归的容易理解，但时间花费较多。

#include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #include <string.h>
 typedef struct Node
 {
     int m[11][11];
 }Matrix;
 Matrix init, unit;  //初始化输入矩阵，单位矩阵如果用递归写Pow函数可以不用单位矩阵
 int n, K;
 void Init( )  //初始化
 {
     scanf( "%d%d", &n, &K );
     for( int i=0; i<n; ++ i )
         for( int j=0; j<n; ++ j )
         {
             scanf( "%d", &init.m[i][j] );
             unit.m[i][j]=( i == j );
         }
 }
 
 Matrix Mul( Matrix a, Matrix b )  //矩阵乘法
 {
     Matrix c;
     for( int i=0; i<n; ++ i )
     {
         for( int j=0; j<n; ++ j )
         {
             c.m[i][j]=0;  //特别注意
             for( int k=0; k<n; ++ k )
             {
                 c.m[i][j] += a.m[i][k]*b.m[k][j];
             }
             c.m[i][j] %= 9973;
         } 
     }
     return c;
 }
 
 Matrix Pow( Matrix a, Matrix b, int k )
 {
     while( k>1 )
     {
         if( k&1 )  // k为奇数时
         {
             k --;
             b=Mul( a, b );
         }
         else   // k为偶数
         {
             k >>= 1;
             a=Mul( a, a );
         }
     }
     a=Mul( a, b );
     return a;
 }
 
 int main( )
 {
     int T;
     scanf( "%d", &T );
     while( T -- )
     {
         Matrix x;
         Init( );
         x=Pow( init, unit, K );
         int sum=0, i=0;
         n--;
         while( n >= 0 )
         {
             sum += x.m[n][n];
             sum%=9973;
             n --;    
         }
         printf( "%d\n", sum%9973 );
     }
 }