利用矩阵的n次方求图的连通性

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#子图划分 #幂矩阵 #线性代数

本文探讨如何通过图的邻接矩阵及其幂次来分析图的连通性。通过计算A^1+A^2+...+A^n，可以判断节点是否在同一子图中，对角线元素为零表示不连通。例如，一个特定图的邻接矩阵及其平方展示了一种路径计数方式，最后的和为0表示节点间不可达，为非0则可能在同一个子图中。

设A（n x n）为一个图的邻接矩阵，则a(i,j)表示两个点之间是否连通（1：连通，0：不连通）。那么A的k次方中的每一个a（i，j）表示点i和j之间长度为k的路的条数。假设一个图能划分成若干个子图，每个子图之间不相连，那么A^1+A^2+...+A^n能表示该图的连通性。为0则不可能在一个子图，为非0则可以在一个子图。

如下图：


其邻接矩阵为：

     0     1     0     0     0     0     0     0     0     0

     1     0     1     0     0     0     0     0     0     0

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