字符串的非精确匹配

字符串的非精确匹配问题（inexact matching），也就是字符串的对齐问题（string alignment）。对于字符串的exact matching问题，KMP、Suffix Tree等方法是利器，但是对于inexact matching，这些方法就有些吃力了，虽然也能使用Suffix Tree解决一些错配问题或通配符问题，但是使用范围很有限。对于inexact matching，一般使用动态规划( Dynamic Programming )处理。DP是老朋友了，时隔6年，好久不见。这里使用的DP比较简单，转移方程容易理解，毕竟是简单的线性DP。

编辑距离（Edit distance）

这道题很经典啊，当初刷这道题时真的没想到今天会从生信的角度来重温，切身体会见证了算法的实用性。

转移方程： D(i, j) = min[D(i - 1, j) + 1, D(i, j - 1) + 1, D(i -i, j-i) + t(i, j)].

初始条件：D(i, 0) = i ，D(0, j) = j.  

注：当Si(i) !=S2(j)时，t(i, j)=1;  当S1(i) = S2(j)时，t(i, j)=0. 

带权重的编辑距离（Weighted edit distance）

匹配是需要代价或奖励的。所谓权重，有两种类型，第一种是基于基本操作的权重，第二种是基于代价表格的权重。

基于基本操作的权重。对于insertion或deletion给定代价d、对于substitution（replacement）给定代价r，对于match给定奖励e，在此基础上计算编辑距离。

转移方程：D(i, j) = min[D(i, j - 1) + d, D(i - 1, j) + d, D(i - 1, j - 1) + t(i, j)]. 

初始条件：D(i, 0) = i x d ，D(0, j) = j x d. 

基于代价表格的权重。将insertion或deletion看成分别向两个字符串增加空格space（或破折号dash），将两个字符串出现过的所有字符和space（或破折号dash）组成新的集合，对于该集合中的任意两个字符，给出匹配代价s（x，y），得到代价表格s。令V(i,j)表示两个前缀S1[1...i]和S2[1...j]的最优匹配代价。（常常将错配代价记为负值，匹配奖励记为正值，那么此处的匹配代价说成匹配值比较好，并且需要使这个匹配值最大化）

转移方程：V(i, j) = max[ V(i -1,j-1)+ s(S1(i), S2(j)), V(i - 1, j) + s(S1(i), - ), V(i, j-1)+s( _ , S2(j) ) ].

初始条件：

   

局部匹配（Local alignment）

局部匹配可能是更为常见的问题，比如蛋白质具有特定的功能片段（举例：motif ），有的蛋白质在种间具有进化保守片段，等等问题实际上可以转化为局部匹配的问题。

先看一个定义：局部后缀匹配（Local suffix alignment）。寻找前缀S1[1...i]的后缀a 和前缀S2[1...j]的后缀b，使得匹配值V（a，b）最大化，并记录这个最大化的值为v(i, j)。可以证明，最佳局部匹配的匹配值 vmax = max[v(i, j) : i <= n, j <= m]. 

转移方程：v(i, j) = max[0, v(i - 1, j - 1) + s(S1(i), S2(j)), v(i -1,j) + s(S1(i),-), v(i, j - 1) + s(-, S2(j)) ].

初始条件：v(i, 0) = 0， v(0, j) = 0.

间隔问题（Gaps）

Gaps也是十分常见的问题，因为在生物序列匹配时，我们可能更关心匹配过程出现了多少个间隔，而不那么关心每个间隔里有多少空格。若出现一个Gap需要代价Wg，出现一个空格需要代价Ws，则出现一个连续m个空格形成的Gap需要代价Wg+m×Ws。利用Gaps模型，我们可以通过调整Wg和Ws的值，来实现不同的匹配效果：当增大Wg时，匹配结果更倾向于Gaps更少、片段更集中; 当增大Ws时，匹配结果更倾向于Gaps更多、片段更零散。

Gaps的权重有四种类型：常数型（constant）、仿射型（affine）、凸面型（convex）、任意型（arbitrary）。

常数型：maximize [Wm(# matches) - Wms(# mismatches) -Wg (# gaps)]. 

仿射型：maximize [Wm(# matches) - Wms(# mismatches) - Wg(# gaps) - Ws(# spaces)]. （仿射即：y=a+bx）

凸面型：在同一个Gap中，后面增加的space所需的代价比前面的space的代价小。如：Wg+log q（q表示Gap长度）。

任意型：根据Gap的长度不同，Gap总代价值w(q)为任意值（q表示Gap长度），即w(q+1)-w(q)不一定是常数。放射型是任意型的特例。

任意型

首先将匹配情况分为以下三种：

第一种情况，S1[i]与S2[k]对齐（其中k<j），也就是说，此时在S1的第i个位置后增加 (j-k)个空格实现对齐，记这种情况的最优匹配值为E(i ,j)。

第二种情况，S1[k]与S2[j]对齐（其中k<i），也就是说，此时在S2的第j个位置后增加 (i-k)个空格实现对齐，记这种情况的最优匹配值为F(i ,j)。

第三种情况，S1[i]与S2[j]对齐，记这种情况的最优匹配值为G(i ,j)。

记V(i ,j) 为 E(i ,j)、F(i ,j)、G(i ,j)的最大值。

转移方程：

注意：w(q+1)-w(q)不一定是常数。

初始条件：

仿射型

转移条件：

理解：若E(i ,j)由E(i ,j-1)转移而来，则无需新建Gap，也就不需要花费代价Wg。F(i ,j)的理解同理。

初始条件：

凸面型

请参考Algorithms on Strings, Trees and Sequences一书的12.6章节，方法也是基于动态规划。