Hankson的趣味题[NOIP2009]

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#output #input #function #div #c #算法

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本文介绍了一种结合数学和搜索算法解决最大公约数(GCD)及最小公倍数(LCM)问题的方法。通过分解质因数并进行搜索，找到满足特定GCD和LCM条件的数对。文章提供了详细的算法步骤和实现代码。

算法：数学+搜索

本题的做法有很多，这里介绍两种：
1.首先我们知道GCD最小为a1，因为要求的使GCD等于a1，而LCM为b1，因为要求的使LCM为b1。
因此我们在知道了范围以后就可以直接枚举了，从a1到b1，这样的话能得到50分。。。
2.设：
A=p1^a1+p2^a2+p3^a3+...
B=p1^b1+p2^b2+p3^b3+...
则LCD=p1^(min(a1,b1))+p2^(min(a2,b2))+p3^(min(a3,b3))+...
LCM=p1^(max(a1,b1))+p2^(max(a2,b2))+p3^(max(a3,b3))+...

分解质因数的方法，将b1分解质因数，然后进行搜索，搜索时必须要选择所搜出的质因数的种类个，对于搜索出的所有情况注意验证累加就可以了。

program son;

const
 maxn=1000;

var
 n,m,tot,ii,jj,a0,a1,b0,b1,ans:longint;
 p,x,c:array [0..maxn] of longint;
 
function gcd(a,b:longint):longint;
begin
 if b=0 then exit(a) else exit(gcd(b,a mod b));
end;

procedure dfs(i,sum:longint);
var
 j,max:longint;
begin
 if i>m then{不懂这里为什么要大于m才行。}
  begin
   inc(tot);
   p[tot]:=sum;
   exit;
  end;
 max:=sum;
 dfs(i+1,max);{每个质因数可以不选，可以选一个，也可以选多个。}
 for j:=1 to c[i] do
  begin
   max:=max*x[i];
   dfs(i+1,max);
  end;
end;
 
procedure work(q:longint);{分解质因数过程。}
var
 i:longint;
begin
 i:=2;
 while i<=sqrt(q) do
  begin
   if q mod i=0 then
    begin
     inc(m);
     x[m]:=i;
     c[m]:=0;
     while q mod i=0 do
      begin
       inc(c[m]);
       q:=q div i;
      end;
    end;
   inc(i);
  end;
 if q<>1 then
  begin
   inc(m);
   x[m]:=q;
   c[m]:=1;
  end;
 dfs(1,1);
end;

begin
 assign(input,'son.in'); reset(input);
 assign(output,'son.out'); rewrite(output);
 
 readln(n);
 for ii:=1 to n do
  begin
   readln(a0,a1,b0,b1);
   fillchar(p,sizeof(p),0);
   fillchar(x,sizeof(x),0);
   fillchar(c,sizeof(c),0);
   m:=0;
   tot:=0;
   ans:=0;
   work(b1);
   for jj:=1 to tot do if (gcd(p[jj],a0)=a1) and ((p[jj] div gcd(p[jj],b0))*b0=b1) then inc(ans);{累计过程。}
   writeln(ans);
  end;
 
 close(input); close(output);
end.