[NOIP 2009提高] Hankson的趣味题

最新推荐文章于 2025-05-01 15:12:40 发布

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#NOIP2009 #oi #信息学 #数论 #唯一分解

本文主要介绍了NOIP 2009提高组的一道题目，涉及信息学奥赛（OI）中的数论知识。题目要求求解满足特定条件的正整数x的数量，即x与a0的最大公约数为a1，x与b0的最小公倍数为b1。通过唯一分解素因子的方法，对输入数据进行处理，给出了暴力优化的解题方案。

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题目描述

　　Hanks博士是BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。
　　今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1和c2的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x满足：
　　1.x和a0的最大公约数是a1；
　　2.x和b0的最小公倍数是b1。
　　Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数n，表示有n组输入数据。接下来的n行每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0能被a1整除，b1能被b0整除。

输出格式

共n行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的x，请输出0；
若存在这样的x，请输出满足条件的x的个数；

样例数据

样例输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出

6
2

样例说明

第一组输入数据，x可以是9、18、36、72、144、288，共有6个。
第二组输入数据，x可以是48、1776，共有2个。

数据范围

对于50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000且n≤100。
对于100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000且n≤2000

题目分析

数据良心，这题暴力50~70分，写得好可以拿90分

正解方案：
考虑如何求最大公约数
一般使用欧几里得辗转相除，但此题将问反过来，我们只好考虑更好（复杂）的方案
x与y的gcd与lcm对于x与y唯一分解的素因子p，一定有：
gcd=min{numx p,numy p} ①
lcm=max{numx p,numy p} ②
因此对a0,a1,b0,b1唯一分解，对于每一个素因子p进行处理：
设a0,a1,b0,b1中p的个数分别为ca0,ca1,cb0,cb1
由题、①、②可得
若ca0

源代码

暴力优化90分

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
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