2^k进制数[NOIP2006]_2的k次幂进制数（noip2006提高）-优快云博客

本文探讨使用动态规划（DP）算法解决特定进制数转换问题，详细解释了状态转移方程的推导和优化过程，重点在于理解并实现算法以解决实际问题。

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算法：DP

一开始这道题看得我蒙蒙的，看了半天想到了递推，无奈状态表示对了但是方程写错了。后来看了题解才发现并不是很难，一言蔽之，还是爱的不够啊~

总的来说思路还算是有的，设f[i,j]表示2^k进制数长度为i位，最高位是j的方案数，则很容易的得出f[i,j]=f[i-1,j+1]+f[i-1,j+2]+...+f[i-1,2^k-1]，通过观察f[i-1,j+2]+...+f[i-1,2^k-1]不难看出，这实际上就是f[i,j+1]，因此我们不必累加前面的所有那么多项的式子，原式可以化简为f[i,j]=f[i-1,j+1]+f[i,j+1]。
按照以上的那个式子，我们就可以倒序的求解了。
另外要特殊注意的是，最高位，即长度为m mod n，它的取值范围只存在与1~2^(n mod m)-1之中，而不同于其它位的长度为1~2^k-1，但是如此以来，我们会漏掉2^(m mod n)~2^k-1这些状态，而由上面的推导可知，前面的状态是由后面的状态推出来的，因此我们要过滤一下状态，对于求最高位，只有在j<=2^(m mod n)-1时才进行累加。

在优化方面，考虑用8位高精度使用的内存较高，因此采用滚动数组进行优化。

program digital;

const
 maxn=512;
 cifang:array [0..10] of longint=(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024);
 
type
 arr=array [0..50] of int64;

var
 maxlen,n,m:longint;
 f:array [0..1,0..maxn] of arr;
 ans:arr;
 
procedure init;
var
 i:longint;
begin
 readln(n,m);
 maxlen:=m div n;
 for i:=cifang[n]-1 downto 1 do
  begin
   f[0,i,0]:=1;
   f[0,i,1]:=1;
  end;
 ans[0]:=1;
 ans[1]:=0;
end;

function HPP(x,y:arr):arr;
var
 i,len,t:longint;
begin
 t:=0;
 fillchar(HPP,sizeof(HPP),0);
 if x[0]>=y[0] then len:=x[0] else len:=y[0];
 HPP[0]:=len; 
 for i:=1 to len do 
  begin
   HPP[i]:=x[i]+y[i]+t;
   t:=HPP[i] div 1000000000;
   HPP[i]:=HPP[i] mod 1000000000;
  end;
 if t>0 then
  begin
   inc(HPP[0]);
   HPP[HPP[0]]:=t;
  end;
 while (HPP[HPP[0]]=0) and (HPP[0]>1) do dec(HPP[0]); 
end;

procedure main;
var
 i,j,t:longint;
begin
 {先处理不是最高位的位置。}
 for i:=1 to maxlen-1 do
  begin
   t:=i mod 2;
   for j:=cifang[n]-1 downto 1 do
    begin
     f[t,j]:=HPP(f[1-t,j+1],f[t,j+1]);
     ans:=HPP(ans,f[t,j]);
    end;
  end;
 t:=maxlen mod 2;
 {处理最高位+特殊限制。}
 if m mod n>0 then
  begin
   for j:=cifang[n]-1 downto 1 do
    begin
     f[t,j]:=HPP(f[1-t,j+1],f[t,j+1]);
     if j<=cifang[m mod n]-1 then ans:=HPP(ans,f[t,j]);   
    end;
  end;
end;

procedure print(x:arr);
var
 i:longint;
begin
 write(x[x[0]]);
 for i:=x[0]-1 downto 1 do
  begin
   if x[i]<100000000 then write(0);
   if x[i]<10000000 then write(0);
   if x[i]<1000000 then write(0);
   if x[i]<100000 then write(0);
   if x[i]<10000 then write(0);
   if x[i]<1000 then write(0);
   if x[i]<100 then write(0);
   if x[i]<10 then write(0);
   write(x[i]);
  end;
 writeln;
end;

begin
 assign(input,'digital.in'); reset(input);
 assign(output,'digital.out'); rewrite(output);
 
 init;
 main;
 print(ans);
 
 close(input); close(output);
end.