最长公共上升子序列（LCIS）浅析

最新推荐文章于 2024-06-20 19:43:49 发布

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本文详细介绍了如何使用动态规划（DP）算法优化解决最长公共上升子序列（LCIS）问题，通过优化时间复杂度从O(n^4)降至更高效的方法，实现了对序列的高效匹配与分析。

算法：DP

分析：LCIS问题即LCS+LIS，即最长公共上升子序列问题。
有一种很复杂的做法，就是确定i和j之后利用枚举的方法再枚举区间确定最大值，即f[i,j]=max(f[i,j],f[k,l]+0或1)。然而这样的话，时间复杂度升至了O(n4)，因此必须优化。
设f[i]表示到a串的第i个数为止，包括a[i]在内的并以a[i]为结尾的，与整个b串的最长公共上升子序列。
通过观察不难发现，每次我们都是在确定i之后再确定区间内的最大值，因此，在我们每确定i的时候就记录一个最大值即可，假设我们让a[i]作为关键字，与b[j]进行比较，得到的情况无非是以下三种：
①a[i]>b[j]
②a[i]=b[j]
③a[i]<b[j]
而①、③这两种情况看起来似乎没有用处，首先③是没有用的，因为我们将a[i]作为了关键字，包括a[i]在内的LCIS不可能形成。

但是①这种情况就可以，设一个max记录在a[i]>b[j]时a串的前i位与b串的前j位的LCIS，以便于下一个搜索到a[i]=b[j]时使用，max表示j之前的最大的LCIS的个数，若②出现那么f[j]=max+1。

program LCIS;

const
 maxn=5000;

var
 n,m:longint;
 a,b,f:array [0..maxn] of longint;

procedure init;
var
 i:longint;
begin
 readln(n);
 for i:=1 to n do read(a[i]);
 readln(m);
 for i:=1 to m do read(b[i]);
end;

procedure main;
var
 i,j,max:longint;
begin
 for i:=1 to n do
  begin
   max:=0;
   for j:=1 to m do
    begin
     if (a[i]>b[j]) and (f[j]>max) then max:=f[j]
     else if (a[i]=b[j]) and (f[j]<=max) then f[j]:=max+1;
    end;
  end;
end;

procedure outit;
var
 i,max:longint;
begin
 max:=0;
 for i:=1 to n do if f[i]>max then max:=f[i];
 writeln(max);
end;

begin
 assign(input,'LCIS.in'); reset(input);
 assign(output,'LCIS.out'); rewrite(output);

 init;
 main;
 outit;

 close(input); close(output);
end.