Tyvj P1392 and SHLQSH数总结

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#output #算法 #input #div #优化 #2010

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本文详细介绍了求解SHLQSH数的四种算法，包括复杂度高导致TLE的直接枚举法，通过质因数分解优化到O(n*m)的算法，使用筛素法进一步优化至O(n)的算法，以及最终通过减少重复计算得到的O(n)优化算法。文章提供了具体代码实现，并讨论了每种算法的时间复杂度和适用场景。

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SHLQSH数总结

SHLQSH数即为求输入的两个数之间约数的个数之和。（数据范围为1~10000000）

例如输入2 6

2的约数为：1,2

3的约数为：1,3

4的约数为：1,2,4

5的约数为：1,5

6的约数为：1,2,3,6

所以，从2到6的约数的个数为2+2+3+2+4=13个

那么，如何求两个数之间的约数个数呢？现给出4种算法：（设这两个数分别为x，y）

算法一：

既然是求两个数之间的约数个数，那么就可以从x到y分别枚举每一个数的约数存入数组中，然后不断累加可得答案，时间复杂度为O（n²），由于复杂度太高，肯定会TLE，故不给出代码。

算法二：

我们可以把从X到Y的每一个数进行质因数分解，即分解成p1^a1*p2^a2*p3^a3…*pk^ak，pi为质数，ai是正数，这样的话，约数的个数就可以表示为（a1+1）*（a2+1）*（a3+1）*…*（ak+1）{因为对每一个pi^ai，我们都少了1这个约数，因此要+1}，这样的话，复杂度就被我们分解成了O（n*m），m为MaxN以内的质数。

算法三：

刚才算法二的质数还是太高了，我们还可以采用用筛素法求质数表的方法，求出每个数的约数个数，code如下

var x,y,i,j:longint; f:array [1..10000000] of longint; ans:int64; begin assign(input,'SHLQSH.in'); reset(input); assign(output,'SHLQSH.out'); rewrite(output); ans:=0; readln(x,y); for i:=1 to y do begin for j:=1 to (y div i) do inc(f[i*j]);//f[i*j]记录1到i*j以i为约数的约数的个数 end; for i:=x to y do inc(ans,f[i]);//枚举求和 writeln(ans); close(input); close(output); end.

算法四：

算法三其实已经很优化了，但时间复杂度依然是O（N²），如何把复杂度将为O（N）呢

因为我们要求X到Y的约数的个数和，那么我们可以只求一遍1~Y的约数个数减1~X-1的约数个数不就是X~Y的约数个数吗。

因此，代码还可以更优化：

至此，算法已优化到了O（N），对于10000000的数据大小已经完全适用。

PS：本文根据NOI导刊2010年第二期《妙解shlqsh问题》改编而来。