8、标准方程法

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对于某些线性回归问题，采用标准方程法而不是梯度下降法（迭代）求解θ会更加快捷方便。


令所有偏导数为0，求解所有θ值。




SIFT算法详解
zddhub的专栏
04-28 57万+
尺度不变特征变换匹配算法详解 Scale Invariant Feature Transform(SIFT) Just For Fun zdd  zddmail@gmail.com 对于初学者，从David G.Lowe的论文到实现，有许多鸿沟，本文帮你跨越。 1、SIFT综述 尺度不变特征转换(Scale-invariant feature transform或SIFT)
第二章.线性回归以及非线性回归—标准方程法
weixin_45116749的博客
01-16 961
第二章.线性回归以及非线性回归—标准方程法
正规方程（标准方程）法---笔记
zoe9698的博客
09-05 7479
第一篇文章对梯度下降的解释，初始位置在山上某点，目的位置是山的最低点，那么下山就需要不断的在当前位置找到下山最陡的那条路的'方向‘,然后向这个方向往下走一段路，再重新计算最陡方向，直到到达最低点。 假设我们的预测函数只有一个theta参数，损失函数是一个二次方程： 对应的图像是： 那么对于这个损失函数我们可以使用梯度下降法求损失函数的最小值。或者从数学的角度考虑，对于二次函数秋最值我...
线性回归 --梯度下降法与标准方程法
troysps的博客
05-08 2248
线性回归 简单线性回归 机器学习三要素 – 模型 策略 算法 线性回归 输入空间为XXX 输出空间为YYY 模型:假设函数 hypothesis：hθ=θ0+θ1x1hypothesis：hθ=θ0+θ1x1hypothesis： h_{\theta} = \theta_0 + \theta_1x_1 模型参数:θ0,θ1θ0,θ1\theta_0 , \theta_1 思考：...
标准方程法(normal equation)公式推导
qq_31293215的博客
10-19 2740
最近在看吴恩达的机器学习网课，讲到标准方程法的时候没有给出推导，在参考了两篇博客后推导出来了，记录一下。 机器学习之正规方程法推导 机器学习——线性回归中正规方程组的推导 两篇文章都给出了推导需要的基础知识，本篇所用的核心如下： 首先： 1/2m最终等式右边等于零，且不影响求导，故后续公式中省略 所以有：(重点) 使用前文给出的基本公式，开始计算d(...
线性回归与非线性回归：1.5标准方程法实战
zy_小轩的博客
03-22 513
import numpy as np from numpy import genfromtxt import matplotlib.pyplot as plt # 载入数据 data = np.genfromtxt("data.csv", delimiter=",") x_data = data[:,0,np.newaxis] y_data = data[:,1,np.newaxis] ...
标准方程法
weixin_44831924的博客
01-09 665
标准方程法 Normal Equation标准方程法原理线性回归实现标准方程法 标准方程法原理        标准安全法与梯度下降法都是用来解决线性回归的方法。假如有一个代价函数J(θ)，画出图像如下图，可以看到这个代价函数有一个全局最小值，通过求导，令导数为0，可以求出θ1、θ2……的值。       可以看...
四、标准方程法——岭回归
胸毛飘荡的博客
10-17 1509
首先给出longley.csv数据集 Year,GNP.deflator,GNP,Unemployed,Armed.Forces,Population,Year,Employed 1947,83.0,234.289,235.6,159.0,107.608,1947,60.323 1948,88.5,259.426,232.5,145.6,108.632,1948,61.122 1949,88.2,...
精选资源
Burgers方程_牛顿迭代法.zip_Buegers方程求解_Burgers_Newton_burgers_牛顿迭代_迭代法
07-15
然后，应用牛顿迭代法来求解这些代数方程，不断更新解的近似值，直到达到所需的收敛标准。 在实际操作中，可能会面临数值稳定性问题，如梯度下降可能导致数值发散。为了改善这个问题，可能需要采用线性化技巧，如...
初学算法——标准方程法
pptde的博客
02-24 532
标准方程法（normal equation） 化简后的标准形式如图： 二次方程求极值：对方程求一阶导，然后令其等于零求解，得到的X的值就是原方程的极值点 当此处我们的θ为多维的相量的时候，也可依次求导，然后得到每个方程的极值点 此处有另外一种方式求极值点： 这样求出来的θ就是方程的极值点 案例： 这样的方法就是求成本函数最小值的标准方程法 梯度下降...
机器学习算法1_标准方程法
weixin_44341114的博客
03-13 667
机器学习的学习笔记 关于线性回归使用标准方程法的算法推演 或许只有我自己能看懂 一 逻辑推演 有数据Data( 上标为列号,下标为行号) [x11x21...xn1y1x12x22...xn2y2x13x23...xn3y3..............x1mx2m...xnmym] \begin{bmatrix} x_1^1 & x_2^1 \quad ...&amp
详解标准方程法（内含公式推导和代码）
🅽🅸🅲🅺🅴🆁🅽🅴🅻 ⓃⒾⒸⓀⒺⓇⓃⒺⓁ
10-28 1216
标准方程法 标准方程法就是通过一些方法直接求出权值ω的值，以往的文章已将讲过了代价函数的相关内容，这里直接给出代价函数的公式： J(ω0,ω1,ω2,…,ωn)=12m∑i=1m[yi−hω(xi)]2 J(ω_0,ω_1,ω_2,\dots,ω_n)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m[y_i-h_ω(x_i)]^2 J(ω0​,ω1​,ω2​,…,ωn​)=2m1​i=1∑m​[yi​−hω​(xi​)]2 其中h_ω(x)的公式如下： hω(x)=ω0+ω1x1+ω2x2+⋯+ωnxn
标准方程
realliyuhao的博客
01-31 587
我们把所有的参数构成一个向量,用θ表示, 所有特征组成一个矩阵,用X表示， 所有标签组成一个向量，用Y来表示，所以有： 既然有了等式，我们其实可以直接把θ接出来： 可见，参数矩阵其实是可以直接求出来的， 乍一看不知比机器学习高到哪里去，但其实它也有不少缺点： １.当特征量是十万，百万的数量级下，使用标准方程会很慢． ２.它不方便解决逻辑回归（分类）问题． ...
sklearn速度复习-标准方程法
cj1064789374的博客
03-06 387
import numpy as np from numpy import genfromtxt import matplotlib.pyplot as plt #导入数据：输入，输出，偏置 data=np.genfromtxt("data.csv",delimiter=',') x_data=data[:,0,np.newaxis]#(100,1) y_data=data[:...
梯度下降算法和正规方程组学习笔记
CODE and POEM
11-18 8543
斯坦福大学的机器学习公开课的第二节课的学习笔记
ML第一周后期内容（梯度下降算法和标准方程法）
sir_TI的博客
03-29 422
线性回归与非线性回归：1.4标准方程法
zy_小轩的博客
03-22 970
标准方程法 代价函数： 找到最小值即导数为0的点。 矩阵运算：https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus#Scalar-by-vector_identities 分子布局：分母为行向量或者分子为列向量 分母布局：分子为行向量或者分母为列向量 为标量 所以与其转置的结果相同 矩阵不可逆的情况 线性...
【机器学习基础】正规方程法（Normal equation）（正则化和非正则化）——吴恩达课程笔记
qq_54714613的博客
05-14 1317
吴恩达课程笔记，对正规方程法（正则化和非正则化）进行推导
c++用圆的标准方程法画圆
最新发布
11-01
<think>首先，用户的问题是："我想查找使用C++通过圆的标准方程法画圆的方法 请问C++使用圆的标准方程法画圆的实现方法"。用户想要知道如何使用C++来实现画圆，使用圆的标准方程法。 圆的标准方程是：$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$，其中 $(x_0, y_0)$ 是圆心，$r$ 是半径。 用户提供了多个引用： - 引用[1]：讨论了三点定圆原理，涉及求解圆心和半径。 - 引用[2]：关于OpenCV的基本图形绘制函数，包括画圆。 - 引用[3]：PCL中三点计算空间圆的圆心。 - 引用[4]：高斯消元法的代码，用于解线性方程组。 - 引用[5]：使用OpenGL实现DDA、中点画线等算法的代码。 用户特别强调了"使用C++通过圆的标准方程法画圆"，意思是直接基于圆的方程来计算点并绘制。 在引用[2]中，提到了OpenCV的circle函数，但用户可能想要的是手动实现，而不是直接使用库函数。引用[5]涉及OpenGL画线，但没有直接提到画圆。 我应该基于圆的标准方程来提供实现方法。核心思路是：对于给定的圆心$(x_0, y_0)$和半径$r$，遍历可能的$x$值（从$x_0 - r$到$x_0 + r$），然后对于每个$x$，解方程$(y - y_0)^2 = r^2 - (x - x_0)^2$来得到$y$值。 具体步骤： 1. 输入圆心坐标$(x_0, y_0)$和半径$r$。 2. 遍历$x$从$x_0 - r$到$x_0 + r$。 3. 对于每个$x$，计算$dx = x - x_0$，然后$dy = \sqrt{r^2 - dx^2}$（注意处理$r^2 - dx^2 < 0$的情况）。 4. 计算$y$值：$y = y_0 + dy$ 和 $y = y_0 - dy$。 5. 在屏幕上绘制点$(x, y)$。 由于这是图形绘制，我需要指定使用的库。用户提到了C++，但没有指定图形库。在引用中，提到了OpenCV和OpenGL，所以我应该建议使用一个通用的库。 在引用[2]中，OpenCV有circle函数，但用户想要基于方程手动实现。引用[5]使用了OpenGL，所以我可以使用OpenGL的例子。 用户说"使用圆的标准方程法"，意思是直接计算点，然后绘制。 我应该提供一个完整的代码示例。 首先，解释原理： 圆的标准方程$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中$(h, k)$是圆心，$r$是半径。 为了绘制圆，我们可以： - 固定$x$，解出$y$：$y = k \pm \sqrt{r^2 - (x - h)^2}$ - 或者固定$y$，解出$x$，但通常是固定$x$。 由于平方根计算，可能会有浮点数问题，并且需要处理圆点的绘制。 在图形绘制中，通常使用中点画圆法或Bresenham算法来高效绘制，但用户明确要求"标准方程法"，所以我会直接使用方程。 代码结构： - 初始化图形库（如OpenGL或简单控制台，但图形库更适合）。 - 定义圆心和半径。 - 遍历x坐标。 - 计算y坐标。 - 绘制点。 在引用[5]中，有使用OpenGL绘制直线的例子，我可以类似绘制点。 用户上次的问题是关于三点定圆，但这次是直接画圆。 用户引用中包括[^1]到[^5]，我需要参考这些。 引用[2]提到OpenCV的circle函数，但用户想要手动实现。 引用[4]是高斯消元，可能不直接相关。 引用[5]是OpenGL代码。 我将使用类似引用[5]的OpenGL代码框架。 提供一个C++代码，使用OpenGL，基于标准方程绘制圆。 代码大纲： 1. 包含头文件：<GL/glut.h> 等。 2. 定义绘制函数。 3. 在绘制函数中，遍历x值，计算y值，使用glVertex2f绘制点。 4. 设置窗口等。 注意：标准方程法可能绘制不连续的点，因为x是整数步进，但我们可以增加步长或使用浮点。 为了平滑，可以增加步长。 在代码中，我将使用glBegin(GL_POINTS)和glEnd()。 类似引用[5]的DDAline函数。 用户需求是画圆，所以实现一个函数来画圆。 步骤： - 初始化OpenGL。 - 定义函数：void drawCircle(float cx, float cy, float r) { for (float x = cx - r; x <= cx + r; x += 0.01) { // 小步长平滑 float dx = x - cx; float dy_sq = r*r - dx*dx; if (dy_sq >= 0) { float dy = sqrt(dy_sq); float y1 = cy + dy; float y2 = cy - dy; glVertex2f(x, y1); glVertex2f(x, y2); } } } 然后在绘制回调中调用。 代码需要正确设置坐标系。在引用[5]中，有坐标变换：glVertex2f((x + 400 / 2)/400.0-1.6, (400 / 2 - y)/400.0+0.5)，这可能是将像素坐标转换为OpenGL的[-1,1]范围。 我可以简化，使用一个简单的坐标系。 为了通用，我可以定义一个映射。 但为了简单，假设窗口大小固定。 最后，提供相关问题，根据系统指令。 系统指令要求：生成相关问题。 回答中引用的段落末尾添加引用标识。 参考用户提供的引用： - 引用[1]：三点定圆，用于计算圆心和半径，但用户这次是直接画圆，所以可能不直接相关。 - 引用[2]：OpenCV绘制函数，提到circle函数，但用户要手动实现。 - 引用[3]：PCL三点圆心计算，空间圆。 - 引用[4]：高斯消元代码。 - 引用[5]：OpenGL画线代码。 在回答中，我应该引用这些适当的点。 例如，画圆时，提到OpenCV有内置函数[^2]，但我们将实现手动方法。 在三点定圆部分，引用[^1]。 但用户问题主要是画圆，不是计算圆心。 用户说"使用圆的标准方程法画圆"，所以焦点在绘制。 提供代码后，添加相关问题。 相关问题可以基于主题：图形绘制、优化等。 例如： 1. 如何优化标准方程法画圆的速度？ 2. 三点定圆的原理是什么？ 3. 使用OpenCV内置函数如何画圆？ 确保回答用中文。 结构回答： 1. 解释圆的标准方程法原理。 2. 提供C++实现代码，使用OpenGL。 3. 解释代码关键部分。 4. 添加相关问题。 </think>### 使用C++通过圆的标准方程法画圆的实现方法 圆的标准方程为：$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$$，其中 $(x_0, y_0)$ 是圆心坐标，$r$ 是半径。通过这个方程，我们可以遍历 $x$ 坐标（从 $x_0 - r$ 到 $x_0 + r$），对每个 $x$ 值求解对应的 $y$ 值： $$y = y_0 \pm \sqrt{r^2 - (x - x_0)^2}$$ 然后，在图形界面上绘制这些点 $(x, y)$，从而形成一个圆。这种方法简单直观，但由于涉及浮点运算和平方根计算，可能在高性能场景下效率较低，适合教育或简单应用场景[^1]。 下面，我将基于C++实现此方法。考虑到用户引用中涉及OpenGL（如引用[5]），我们使用OpenGL作为图形库，因为它跨平台且支持点绘制。代码将手动计算每个点，而不依赖内置圆绘制函数（如OpenCV的`circle`函数[^2]）。 #### C++实现代码 以下是完整的C++代码，使用OpenGL实现圆的标准方程法画圆。代码基于引用[5]的OpenGL框架修改，添加了圆绘制函数。 ```cpp #include <GL/glut.h> // 包含OpenGL头文件 #include <cmath> // 用于数学计算（如sqrt） #include <iostream> // 用于调试输出（可选） // 函数声明 void display(); void drawCircle(float cx, float cy, float r); // 圆心和半径定义（可调整） float centerX = 0.0f; // 圆心x坐标（在OpenGL坐标系中） float centerY = 0.0f; // 圆心y坐标 float radius = 0.5f; // 半径（相对窗口大小） int main(int argc, char** argv) { glutInit(&argc, argv); // 初始化GLUT glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB); // 设置显示模式 glutInitWindowSize(600, 600); // 设置窗口大小（600x600像素） glutCreateWindow("圆的标准方程法画圆"); // 创建窗口 glClearColor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f); // 设置背景色（白色） gluOrtho2D(-1.0, 1.0, -1.0, 1.0); // 设置正交投影（坐标系范围：[-1,1]x[-1,1]） glutDisplayFunc(display); // 注册显示回调函数 glutMainLoop(); // 进入主循环 return 0; } void display() { glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); // 清除颜色缓冲区 glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f); // 设置绘制颜色（蓝色） glPointSize(2.0f); // 设置点大小（像素） glBegin(GL_POINTS); // 开始绘制点 drawCircle(centerX, centerY, radius); // 调用圆绘制函数 glEnd(); // 结束绘制 glFlush(); // 刷新缓冲区 } void drawCircle(float cx, float cy, float r) { // 遍历x坐标范围（cx - r 到 cx + r，步长0.001以平滑绘制） for (float x = cx - r; x <= cx + r; x += 0.001f) { float dx = x - cx; // 计算x方向差值 float discriminant = r * r - dx * dx; // 计算方程判别式 if (discriminant >= 0) { // 确保判别式非负（避免虚数） float dy = std::sqrt(discriminant); // 计算y方向差值 float y1 = cy + dy; // 上半个圆的y值 float y2 = cy - dy; // 下半个圆的y值 glVertex2f(x, y1); // 绘制点(x, y1) glVertex2f(x, y2); // 绘制点(x, y2) } } } ``` #### 代码解释 1. **坐标系设置**： - OpenGL使用归一化坐标系（范围$[-1, 1] \times [-1, 1]$），圆心$(0, 0)$位于窗口中心，半径$0.5$表示圆覆盖一半窗口。 - 通过`gluOrtho2D`设置正交投影，确保坐标映射正确（参考引用[5]的坐标变换逻辑[^5]）。 2. **绘制函数`drawCircle`**： - 遍历$x$从$x_0 - r$到$x_0 + r$（步长$0.001$确保圆点平滑）。 - 对每个$x$，计算判别式$r^2 - (x - x_0)^2$。如果非负，则求解$y = y_0 \pm \sqrt{\cdot}$。 - 使用`glVertex2f`绘制上下两个点（覆盖整个圆）。 - 注意：步长越小，圆越平滑，但计算量越大。实际应用中可调整步长平衡性能与质量。 3. **编译运行**： - 依赖OpenGL库。在Linux编译：`g++ circle.cpp -lglut -lGL -lGLU -o circle`。 - 在Windows需配置GLUT库（参考引用[5]的配置方式[^5]）。 - 运行后显示蓝色圆在白色背景上。 #### 注意事项 - **性能问题**：标准方程法涉及浮点运算和平方根，对于大半径或实时应用可能较慢。优化方法见相关问题。 - **对比内置函数**：OpenCV提供了高效`circle`函数（引用[2][^2]），但此代码手动实现核心逻辑，适合学习目的。 - **拓展到三点定圆**：如果圆心未知，可先用高斯消元法求解三点定圆方程（如引用[1]和[4][^1][^4]），再调用此函数绘制。 ### 相关问题 1. **如何优化标准方程法画圆的速度？**（例如，减少步长计算量或使用近似算法） 2. **三点定圆的原理是什么？如何用C++实现圆心和半径的计算？**（参考引用[1]的高斯消元[^1][^4]） 3. **在OpenCV中如何直接调用内置函数绘制圆？**（引用[2]提到`circle`函数[^2]） [^1]: 三点定圆原理基于三个点坐标求解圆心和半径，通过建立方程组并使用高斯消元法实现。 [^2]: OpenCV提供了高效的图形绘制函数，如`circle`，可直接画圆而不需手动计算点。 [^4]: 高斯消元法用于解线性方程组，在三点定圆中求解圆心坐标。 [^5]: OpenGL的坐标系统和点绘制机制，用于实现图形界面的基础框架。
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