网络权重初始化方法总结（下）：Lecun、Xavier与He Kaiming

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权重初始化最佳实践

书接上回，全0、常数、过大、过小的权重初始化都是不好的，那我们需要什么样的初始化？

• 因为对权重$w$的大小和正负缺乏先验，所以应初始化在0附近，但不能为全0或常数，所以要有一定的随机性，即数学期望$E(w)=0$；

• 因为梯度消失和梯度爆炸，权重不易过大或过小，所以要对权重的方差$Var(w)$有所控制；

• 深度神经网络的多层结构中，每个激活层的输出对后面的层而言都是输入，所以我们希望不同激活层输出的方差相同，即$Var(a^{[l]})=Var(a^{[l-1]})$，这也就意味不同激活层输入的方差相同，即$Var(z^{[l]})=Var(z^{[l-1]})$；

• 如果忽略激活函数，前向传播和反向传播可以看成是权重矩阵（转置）的连续相乘。数值太大，前向时可能陷入饱和区，反向时可能梯度爆炸，数值太小，反向时可能梯度消失。所以初始化时，权重的数值范围（方差）应考虑到前向和后向两个过程；

权重的随机初始化过程可以看成是从某个概率分布随机采样的过程，常用的分布有高斯分布、均匀分布等，对权重期望和方差的控制可转化为概率分布的参数控制，权重初始化问题也就变成了概率分布的参数设置问题。

在上回中，我们知道反向传播过程同时受到权重矩阵和激活函数的影响，那么，在激活函数不同以及每层超参数配置不同（输入输出数量）的情况下，权重初始化该做怎样的适配？这里，将各家的研究成果汇总如下，

其中，扇入$fan\_in$和扇出$fan\_out$分别为当前全连接层的输入和输出数量，更准确地说，1个输出神经元与$fan\_in$个输入神经元有连接(the number of connections feeding into the node)，1个输入神经元与$fan\_out$个输出神经元有连接(the number of connections flowing out of the node)，如下图所示（来自链接），

对于卷积层而言，其权重为$n$个$c\times h\times w$大小的卷积核，则一个输出神经元与$c\times h\times w$个输入神经元有连接，即$fan\_in=c\times h\times w$，一个输入神经元与$n\times h\times w$个输出神经元有连接，即$fan\_out=n\times h\times w$。

期望与方差的相关性质

接下来，首先回顾一下期望与方差计算的相关性质。

对于随机变量$X$，其方差可通过下式计算，
$$Var(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$$
若两个随机变量$X$和$Y$，它们相互独立，则其协方差为0，
$$Cov(X,Y)=0$$
进一步可得$E(XY)=E(X)E(Y)$，推导如下，
$$\begin{array}{rl}Cov(X,Y)& =E((X-E(X))(Y-E(Y)))\\ & =E(XY)-E(X)E(Y)=0\end{array}$$
两个独立随机变量和的方差，
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(X+Y)& =E\left((X+Y{)}^2\right)-(E(X+Y){)}^2\\ & =E\left(X^2+Y^2+2XY\right)-(E(X)+E(Y){)}^2\\ & =\left(E\left(X^2\right)+E\left(Y^2\right)+2E(XY)\right)-\left((E(X){)}^2+(E(Y){)}^2+2E(X)E(Y)\right)\\ & =\left(E\left(X^2\right)+E\left(Y^2\right)+2E(X)E(Y)\right)-((E(X){)}^2+(E(Y){)}^2+2E(X\\ & \\ & \end{array}$$