BST、AVL、RBTree 一脉相承

原创 已于 2025-10-12 22:29:22 修改 · 549 阅读 · 15 ·
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#数据结构 #算法

于 2025-10-11 18:15:10 首次发布

1. BST (Binary Search Tree)

  • 二叉搜索树，顾名思义，它是一种二叉树，并且可以用来进行搜索

1.1 特征

  1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值
  2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件1

1.2 举例

  • 在这里插入图片描述

1.3 查找

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1.4 插入

  • 在这里插入图片描述

1.5 删除

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2. 平衡二叉树、AVL

  • AVL是平衡二叉树的一种，是一种高度平衡的二叉树，是最早被发明的平衡二叉树
  • 还有Splay Tree、Treap等
  • 大学教授 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 名称的缩写，他们提出的平衡二叉树的概念，为了纪念他们，将平衡二叉树称为 AVL树。

2.1 特点

  • 要么是空树
  • 要么左右子树的高度之差的绝对值不超过1

2.2 平衡因子

  • 左子树的高度减去右子树的高度，空节点的平衡因子为0
  • 1、0、-1都认为是平衡的

2.3 旋转

为了维持树的平衡，最重要的操作是对树进行旋转操作，旋转后保持有序和平衡。根据树的形状的不同分为左旋、右旋、先左旋再右旋、先右旋再左旋，下面我们依次进行讨论

2.3.1 LL型

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2.3.2 RR型

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2.3.3 LR型

在这里插入图片描述

2.3.4 RL型

在这里插入图片描述

2.4 分析

  • 旋转的核心就是将中间值放在合适的父节点上，上述的例子就是将6放在父节点上。
  • LR型是先转为LL型，将数字6放在中间位置
  • RL型是先转为RR型，将数字6放在中间位置
  • RR型和LL型的可视化顺序和大小顺序是一致的，可以直接进行旋转

3. 红黑树

  • 继承于二叉搜索树
  • 红黑树是一种不大严格的平衡树(AVL树为了平衡做了太多的旋转)

3.1 特点

  1. 每个节点非红即黑
  2. 根节点是黑的
  3. NIL节点(空叶子节点)为黑色
  4. 红色节点的子节点为黑色
  5. 对于任意节点而言,其到叶子点树NIL指针的每条路径都包含相同数目的黑节点.

3.1.1 理解

  • 红红不能相邻，黑黑可以相邻
  • 有一个不可见的虚拟空节点，颜色为黑，在统计特点5的时候需要考虑在内
  • 新节点默认是红色，如果是黑色，就会影响到特点5
  • 最短路径一定是：全部都是黑色；最长路径为红黑相间

3.1.2 术语

  • 黑黑：两个相邻的黑色节点

  • 红红：两个相邻的红色节点(实际上不会出现)

  • 黑高：节点到叶子节点路途中黑色节点的个数

    添加节点相对比较简单，我们先说添加节点，再说删除节点。

3.3 添加节点

  • 如果是根结点，则为黑色，其他节点默认为红色
  • 如果父节点为黑色，则直接插入即可
  • 如果父节点为红色，则分为以下两种情况

3.3.1 父节点为红，叔节点为红色

  • 因为红色节点的子节点为黑，所以祖先节点一定是黑色节点
  • 因为插入的新节点为红色，出现了非法的红红，这个时候将祖先节点标记为红，父节点和叔节点标记为黑
  • 结果就是增加了一个黑高，导致黑高不一致，将祖先节点作为当前节点沿路径向上进行递归调整
  • 在这里插入图片描述

3.3.2 父节点为红，叔节点为黑

  • 按照LL、LR、RR、RL等四种类型进行旋转，LR转换为LL，RL转换为RR，最终的形状为LL或者RR

  • 父节点变黑，父节点的父节点变红，然后对LL右旋或者对RR左旋后

  • 最终结果是：将相邻的两个红色节点拆开到另一侧，两侧都维持黑高不变，不需要递归

  • LL
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  • RR
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  • LR
    在这里插入图片描述

  • RL
    在这里插入图片描述

3.2 删除节点

  • 删除节点的时候如果是叶子节点就执行删除操作，否则需要寻找临近节点替换后再进行删除操作
  • 删除过程中涉及到向上追溯，需要使用栈来记录最终删除节点的路径

3.2.1 目标节点为红色

  • 直接删除即可
  • 因为红色节点一定是空节点
    • 首先它不可能是有红色子节点，红红不能相邻
    • 因为最多有一边有子节点（否则就要继续查找），所以它一定没有黑色子节点，否则两侧的黑高不相同

3.2.2 目标节点为黑色且有孩子节点

  • 子节点一定是红色，否则两侧的黑高不相同
  • 将目标节点删除后，将子节点向上移动，然后改颜色为黑，保持黑高稳定

3.2.3 目标节点为黑色且有无孩子节点(这个最麻烦)

  • 这种情况下，一定有兄弟节点，否则父节点的两侧两侧黑高不相同
  • 之所以考虑兄弟节点，是为了最低成本的保持两侧黑高相同，减少递归次数

3.2.3.1 兄弟节点为黑色

  1. 目标节点是其父节点的右节点，兄弟节点的左节点为红色

    • 属于LL型, 执行右旋，最后直接删除节点
    • 兄弟节点的左节点变黑，维持兄弟节点的黑高
    • 兄弟节点成为父节点，颜色设置为原父亲节点的颜色
    • 原父节点设置为黑色，保持右侧的黑高不变
    • 在这里插入图片描述

  2. 目标节点是其父节点的右节点，兄弟节点的右节点为红色

    • 属于LR型，需要调整为LL型，然后右旋,最后直接删除节点
    • 兄弟节点的右节点颜色转为父节点的颜色(因为最终它会变为父节点)
    • 父节点的颜色变为黑色，因为它会被旋转到右侧，来维持右侧的黑高不变
    • 在这里插入图片描述

  3. 目标节点是其父节点的右节点,兄弟节点无子节点(兄弟节点一定为黑)

    • 将兄弟节点设置为红色，即两侧都同时减去一个黑色节点
    • 如果其父节点刚好为红色，可以立即变黑，保持黑高不变，就可以返回
    • 但是如果父节点刚好黑色，将目标节点删除后向上递归，将父节点转为目标节点进行调整符合红黑树规则

  4. 目标节点是其父节点的左节点,兄弟节点的右节点为红色

    • 属于RR型，执行左旋，最后直接删除目标节点
    • 兄弟节点的右节点变黑，维持兄弟节点的黑高
    • 兄弟节点成为父节点，颜色设置为原父亲节点的颜色
    • 原父节点设置为黑色，保持右侧的黑高不变
    • 在这里插入图片描述

  5. 目标节点是其父节点的左节点,兄弟节点的左节点为红色

    • 属于RL型，调整为RR型，然后左旋,最后直接删除节点
    • 兄弟节点的左节点颜色转为父节点的颜色(因为最终它会变为父节点)
    • 父节点的颜色变为黑色，因为它会被旋转到右侧，来维持右侧的黑高不变
    • 在这里插入图片描述

  6. 目标节点是其父节点的左节点,兄弟节点无子节点(兄弟节点一定为黑)

    • 将兄弟节点设置为红色，即两侧都同时减去一个黑色节点
    • 如果其父节点刚好为红色，可以立即变黑，保持黑高不变，就可以返回
    • 但是如果父节点刚好黑色，将目标节点删除后向上递归，将父节点转为目标节点进行调整符合红黑树规则

3.2.3.2 兄弟节点为红色

  • 这种情形不能直接进行处理，需要转换形态

  1. 目标节点是其父节点的左节点

    • 兄弟节点与父节点互换颜色，即兄弟变为黑色，父亲变为红色
    • 执行左旋
    • 如图所示，旋转后黑高保持不变，继续对D执行删除操作
    • 在这里插入图片描述

  2. 目标节点是其父节点的右节点

    • 兄弟节点与父节点互换颜色，即兄弟变为黑色，父亲变为红色
    • 执行右旋
    • 如图所示，旋转后黑高保持不变，继续对D执行删除操作
    • 在这里插入图片描述

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