【数据结构】扩展域并查集

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• 并查集

一、扩展域并查集

普通的并查集只能解决各元素之间仅存在一种相互关系，比如在普通并查集的《亲戚》这道题中：

• $a$ 和 $b$ 是亲戚关系，$b$ 和 $c$ 是亲戚关系，这时就可以查找出 $a$ 和 $c$ 也存在亲戚关系。

但如果存在各元素之间存在多种相互关系，普通并查集就无法解决。比如下面的案例：

• $a$ 和 $b$ 是敌人关系，$b$ 和 $c$ 是敌人关系，那么 $a$ 和 $c$ 的关系是什么呢？有句话说得好：敌人的敌人是朋友。所以 $a$ 和 $c$ 其实不是敌人关系，而是一种朋友关系。

此时，就不仅仅是简单的敌人关系，还是出现一种朋友关系。

解决这类有多种关系的问题就需要对并查集进行扩展：**将每个元素拆分成多个域，每个域代表一种状态或者关系。**通过维护这些域之间的关系，来处理复杂的约束条件。

比如现在有 $n$ 个人，它们之间可能是朋友关系可能是敌人关系，普通并查集我们会开辟一个大小为 $n$ 的数组来维护它们之间的关系，现在它们的关系有两种，我们我们可以把数组扩大成两倍，开辟一个大小为 $2n$ 的数组，$[1,n]$ 这个区间表示朋友域，$[n+1,2n]$ 区间表示敌人域，接下来：

• 如果 $x$ 和 $y$ 是朋友（$1\le x,y\le n$），那么正常处理，把 $x$ 和 $y$ 合并成一个集合；
• 如果 $x$ 和 $y$ 是敌人，那么我们把 $x$ 和 $y+n$ 合并成一个集合，表示 $x$ 和 $y$ 是敌人，注意我们也需要把 $x+n$ 和 $y$ 合并成一个集合。

这样就可以利用两个域，将两种关系维护起来。

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二、OJ 练习

1. 团伙 ⭐⭐⭐

【题目链接】

[P1892 BalticOI 2003] 团伙 - 洛谷

【题目描述】

现在有 $n$ 个人，他们之间有两种关系：朋友和敌人。我们知道：

• 一个人的朋友的朋友是朋友
• 一个人的敌人的敌人是朋友

现在要对这些人进行组团。两个人在一个团体内当且仅当这两个人是朋友。请求出这些人中最多可能有的团体数。

【输入格式】

第一行输入一个整数 $n$ 代表人数。

第二行输入一个整数 $m$ 表示接下来要列出 $m$ 个关系。

接下来 $m$ 行，每行一个字符 $opt$ 和两个整数 $p,q$，分别代表关系（朋友或敌人），有关系的两个人之中的第一个人和第二个人。其中 $opt$ 有两种可能：

• 如果 $opt$ 为 F，则表明 $p$ 和 $q$ 是朋友。
• 如果 $opt$ 为 E，则表明 $p$ 和 $q$ 是敌人。

【输出格式】

一行一个整数代表最多的团体数。

【示例一】

输入

6
4
E 1 4
F 3 5
F 4 6
E 1 2

输出

3

【说明/提示】

对于 $100\%$ 的数据，$2\le n\le 1000$，$1\le m\le 5000$，$1\le p,q\le n$。

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(1) 解题思路

开辟一个 $2n+10$ 大小的数组，$[1,n]$ 区间表示朋友域，$[n+1,2n]$​ 区间表示敌人域，如果 $x$ 和 $y$ 是朋友，那么把 $x$ 和 $y$ 合并成一个集合；如果 $x$ 和 $y$ 是敌人，那么我们把 $x$ 和 $y+n$ 合并成一个集合，$x+n$ 和 $y$ 合并成一个集合。

处理完之后我们只需看有多少个根节点即可。

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(2) 代码实现

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int pa[2 * N];  // 扩展域并查集, 两种关系，扩展出两个域
int n, m;

void init()
{
    for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) pa[i] = i;
}

int find(int x)
{
    if(pa[x] == x) return x;
    return pa[x] = find(pa[x]);
}

// 细节：由于最后我们看有多少个根节点的时候只遍历朋友域
// 因此我们合并的时候要让朋友域中的节点作为父亲节点合并
void uni(int x, int y)
{
    // 这段逻辑中 fy 是父亲
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    pa[fx] = fy;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    init();
    while(m--)
    {
        char opt; cin >> opt;
        int p, q; cin >> p >> q;
        if(opt == 'F') uni(p, q);
        else
        {
            // 注意：让朋友域作为父亲合并
            uni(p + n, q);
            uni(q + n, p);
        }
    }
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(pa[i] == i) cnt++;
    }
    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

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2. 食物链 ⭐⭐⭐

【题目链接】

[P2024 NOI2001] 食物链 - 洛谷

【题目描述】

动物王国中有三类动物 $A,B,C$，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$。

现有 $N$ 个动物，以 $1\sim N$ 编号。每个动物都是 $A,B,C$ 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这 $N$ 个动物所构成的食物链关系进行描述：

• 第一种说法是 1 X Y，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。
• 第二种说法是 2 X Y，表示 $X$ 吃 $Y$。

此人对 $N$ 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 $K$ 句话，这 $K$ 句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

• 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
• 当前的话中 $X$ 或 $Y$ 比 $N$ 大，就是假话；
• 当前的话表示 $X$ 吃 $X$，就是假话。

你的任务是根据给定的 $N$ 和 $K$ 句话，输出假话的总数。

【输入格式】

第一行两个整数，$N,K$，表示有 $N$ 个动物，$K$ 句话。

第二行开始每行一句话。格式见题目描述与样例。

【输出格式】

一行，一个整数，表示假话的总数。

【示例一】

输入

100 7
1 101 1
2 1 2
2 2 3
2 3 3
1 1 3
2 3 1
1 5 5

输出

3

【说明/提示】

对于全部数据，$1\le N\le 5\times 10^4$，$1\le K\le 10^5$。

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(1) 解题思路

通过题目描述，我们可以得出三类动物之间一共有 $3$ 种关系：捕食、被捕食、同类。

所以想要维护它们之间的关系可以采用扩展域并查集，扩展出来 $3$ 个域，需要开辟一个 $3n$ 的数组。针对某一个动物 $x$（$1\le x\le n$），扩展出 $3$ 个域：同类域 $[1,n]$，捕食域 $[n+1,2n]$，被捕食域 $[2n+1,3n]$。

如果 $x$ 和 $y$ 是同类，那么：

• $x$ 和 $y$ 是同类，合并 $x$ 和 $y$；
• $x$ 和 $y$ 所捕食的物种是同类，合并 $x+n$ 和 $y+n$；
• 捕食 $x$ 和 $y$ 的物种是同类，合并 $x+2n$ 和 $y+2n$。

如果 $x$ 捕食 $y$，那么：

• $x$ 捕食 $y$，合并 $x$ 和 $y+n$；
• $x$ 捕食的物种和捕食 $y$ 的物种是一类，合并 $x+n$ 和 $y+2n$；
• 捕食 $x$ 的物种和 $y$ 捕食的物种是一类，合并 $x+2n$ 和 $y+n$。

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(2) 代码实现

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 5e4 + 10;
int pa[3 * N];
int n, k;

void init()
{
    for(int i = 1; i <= 3 * n; i++) pa[i] = i;
}

int find(int x)
{
    if(pa[x] == x) return x;
    return pa[x] = find(pa[x]);
}

void uni(int x, int y)
{
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    pa[fx] = fy;
}

bool issame(int x, int y)
{
    return find(x) == find(y);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int cnt = 0;  // 记录假话个数
    init();
    while(k--)
    {
        int r, x, y;
        scanf("%d%d%d", &r, &x, &y);
        // 如果有一个比 n 大或者 x 吃 x
        if((x > n || y > n) || (r == 2 && x == y))
        {
            cnt++;
            continue;
        }

        // x, y 是同类关系
        if(r == 1)
        {
            // 如果发现 x 如吃 y 或者 x 被 y 吃
            bool t = issame(x, y + n) || issame(x, y + 2 * n);
            if(t)  // 那么就矛盾了，说明是假话
            {
                cnt++;
                continue;
            }
            // 否则就是真话
            uni(x, y);
            uni(x + n, y + n);
            uni(x + 2 * n, y + 2 * n);
        }
        // x 吃 y
        else
        {
            // 此时如果发现 x, y 是同类或者 x 被 y 吃
            bool t = issame(x, y) || issame(x, y + 2 * n);
            if(t)  // 那么就矛盾了，说明是假话
            {
                cnt++;
                continue;
            }
            // 否则就是真话
            uni(y + n, x);
            uni(x + n, y + 2 * n);
            uni(x + 2 * n, y);
        }
    }
    cout << cnt << endl;

    return 0;
}