通项求解-主定理Master theorem

最新推荐文章于 2023-10-29 22:47:14 发布
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分类专栏： math_具体数学
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/fireforks/article/details/1645987
本文介绍主定理的应用，主要用于分析采用分治策略算法的时间复杂度。通过递归关系T(n)=aT(n/b)+f(n)，阐述了不同情况下T(n)的渐进界。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

　　　主定理用于求解满足以下固定形式的递归通项，在采用分治策略中分析时间复杂度时，我们常可以得到这类形式递归关系。

　　　令a>=1, b>1 ，a,b均为常量，f(n)为一个函数，T(n)在非负整数集上的递归关系定义：

　　　T(n) = a T(n/b) + f(n),          (其中n/b 我们解释为floor or ceiling)

　　　1、如果/exists /varepsilon > 0 / f(n)=O(n^{log_b^a-/varepsilon})，则T(n)=/Theta(n^{log_b^a})
　　　2、如果f(n)=/Theta(n^{log_b^a}lg^kn)，则T(n)=/Theta(n^{log_b^a|lg^{k+1}n})，特别的，k=0时，即f(n)=/Theta(n^{log_b^a})则有T(n)=/Theta(n^{log_b^a}lgn)
　　　3、如果/exists /varepsilon, f(n)=/Theta(n^{log_b^a+/varepsilon})且，对于/forall足够大的n和某个的c，都有cf(n) /ge af({n /over b}),则T(n)=/Theta(f(n))。

　　　上面第３项中有一个错误。

　　　以上图片转自http://heaps.cn/?p=99　

 

            

 

主定理（Master theorem）与Akra–Bazzi定理
白马负金羁
08-30 1万+
主定理是算法分析中的一个重要结论，它主要用于求解基于分治思想设计的递归算法的渐进复杂度。经典教材《算法导论》中也介绍过这个结论。尽管主定理应用起来十分方便，但并非所有的递归关系都可以用它来求得最终的渐进表示的复杂度。一个更加泛化的结论是由数学家Mohamad Akra 和 Louay Bazzi在1998年给出的后来以他们名字命名的定理——Akra-Bazzi定理
主定理（Master Theorem）与时间复杂度
金州饿霸吃不饱的博客
12-09 5465
1. 问题 Karatsuba 大整数的快速乘积算法的运行时间（时间复杂度的递推关系式）为 T(n)=O(n)+4⋅T(n/2)T(n)=O(n)+4⋅T(n/2)，求其最终的时间复杂度。 2. 主定理的内容 3. 分析 所以根据主定理的判别方法，可知对于 T(n)=O(n)+4⋅T(n/2)，a=4, b=2，则 f(n)=O(n)<符合第一个判别式，因此，T(n)=O(n^2). ...
主定理 Master Theorem
bibi_catfish的博客
11-29 1120
主定理 Master Theorem 什么是主定理？ 在算法分析中，主定理（master theorem）提供了用渐近符号表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。 主定理的作用？ 简单来说是用来计算递归时时间复杂度的一种方法。 当有递归关系式 T(n)=aT(nb)+O(nd)T\left ( n \right )= aT\left ( \frac{n}{b} \right )+O\left ( n^{d} \right )T(n)=aT(bn​)+O(nd) 其中nnn为问题规模，aaa为执行的递归子
Master Theorem
ZERO的博客
03-21 248
首先搞清楚，有很多的递推，时间复杂度相应的有一个递推公式，用眼睛看这个公式去猜比较麻烦，例如： 所以，需要主定律来根递推公式的系数来推出T（n）到底是何方神圣。 首先我们看递推公式： 说通俗一点， 很直接的给了公式，看一下推导过程： Work是工作，每次迭代做一次，所以复杂度等于每一层的复杂度乘以迭代次数，总数为n每次分成a个小的问题，一共分b 次，每一次的额外复杂度（n/b）d，化简得到。（因为每次分层可能会舍弃一些分...
主定理(Master Theorem)
Melody_Gogo的博客
12-08 5142
主定理是分析分治算法时间复杂度很重要的一个定理。 我们之前对于一个递归类的代码进行时间复杂度分析，一般会采用递归树的方式，下面我们先介绍一下递归树的方式，理解之后，再引入主定理的相关内容。 分治的介绍 分治算法总是将问题的规模不断的拆分，以归并排序为例。 假设T(n)T(n)T(n)代表原问题的规模，nnn为输入数据的规模。 第一次拆分后，假设拆分成两份，规模就变成了n2\frac{n}{2}2n​​，然后各自再递归调用归并排序，这部分时间复杂度为2T(n2)2T(\frac{n}{2})2T(2n​)，最
主定理（Master Theorem）
qq_40773984的博客
09-29 1025
主定理是分治算法分析中非常重要的定理。
Automatic-Theorem-Prover-master_自动定理证明_
09-29
总结，"Automatic-Theorem-Prover-master"项目提供了一个实践自动定理证明的平台，涉及一阶逻辑、证明策略和相关算法的实现。通过深入理解和研究该项目，开发者和研究人员可以进一步探索和改进自动证明技术，推动该...
浅谈 主定理 master theorem
qq_40212975的博客
11-01 1587
打卡+坚持：2019.11.1 今日语录：做一个坚定的人，与时间赛跑，拖着世界前行 T(n) = a*T(n/b)+f(n) 其中a>=1, b>1,并且a和b是常数，f(n)是一个递增函数( asymptotically positive function),不知道asymptotically positive function翻译对了没有 有三种可能的情况： 第1和3种情况可以...
Master-Theorem-(Dinh-ly-chu).rar_软件设计/软件工程_TEXT_
08-11
综上所述，《Master Theorem: Practice Problems and Solutions》这本书对于学习者来说是一份宝贵的资源，它不仅提供了理论知识，还包含了一系列的实践题目，有助于读者深入理解和应用Master定理，从而在软件设计和...
主定理(master定理)
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09-01 4766
TnaTnbfnTnaTnbfnaaa为子问题个数，bbb为子问题的规模其中需满足a≥1b1a≥1b1若函数nlogbanlogb​a更大，则TnOnlogbaTnOnlogb​a;若函数fnf(n)fn更大，且满足afnb≤cfnafnb≤cfn,则TnOfnTnOfn));若两函数相等，则TnOnlo。
the master theorem of divide-and-conquer
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09-09 605
PS: The contents below are abstracted from "Introduction to algorithms (third edition)" The proof of the master theorem is omitted because it is so hard to understand. If you are interesting in it, y
Review master theorem
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07-04 940
For recurrent relation with the following format: \(T(n) = a T(\frac{n}{b}) + f(n)\) Let \(c=\log_b a\) be the critical exponent. Master theorem compares the relative growth of \(f(n)\) and \(n^{c}\),...
主定理 master theorem
wkl7123的专栏
05-13 983
如果有如下递归推倒式 T(n)=aT(nb)+f(n)T(n)=aT(nb)+f(n)T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f(n) n&amp;amp;amp;amp;gt;0n&amp;amp;amp;amp;gt;0n&amp;amp;amp;gt;0, 根据aaa, bbb, f(n)f(n)f(n)分析算法复杂度 首先我们可以理解一下aaa, bbb, nnn, f(n)f(n)f(n)的含义 nnn: 问题规模 nbnb\frac{n}{b}:
Master Theorem主定理——递归与分治算法复杂度分析
坤斤拷的博客
03-01 1525
在递归与分治的算法复杂度分析时，通常可得到一个递推公式，形如： 其中为问题的规模，为递归的子问题的数量，为子问题的规模，为每次递归带来的额外计算的函数。要计算这个式子，有以下三种情形： 当，，则 当，，则 当，，且对于任意，有，则 举个例子，现有，根据情形1，有。 关于主定理的证明可以参考主定理证明，这里不做展开。另外，情形2对于任意k，又有三种情形，可以参考维基百科。 ...
【Practical】主定理 Master-Theorem
Esperanto.的博客
08-23 434
主定理Master-Theorem用于分治递推式求解
【算法·基本概念】master theorem 主定理
Alan的专栏
03-17 2273
在算法分析中，主定理（英语：master theorem）提供了用渐近符号表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。此方法经由经典算法教科书《算法导论》而为人熟知。不过，并非所有递推关系式都可应用主定理。该定理的推广形式包括Akra-Bazzi定理。   主定理 假设有递推关系式 ，其中 1" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/0/a/6
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主定理（Master Theorem）是用于分析递归算法时间复杂度的一个重要工具。它适用于形式化定义的一类递归关系，通常采用分治策略解决问题的情况。
时间复杂度的基本定理
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03-01
<think>嗯，用户这次问的是时间复杂度的基本定理。之前他们问过算法分析的基本公式，所以我需要确保这次回答不要重复，而是更深入一些。首先，我需要回忆一下时间复杂度相关的核心定理，而不仅仅是符号或例子。用户可能是在学习算法课程，需要理论上的理解，而不仅仅是应用。 用户之前得到过关于大O、Ω、Θ和主定理的总结，所以这次应该更专注于定理本身，比如渐进符号的定义、主定理、平滑规则、线性性定理等。需要区分开基本定理和一般的复杂度分析技巧。比如，主定理确实是一个重要定理，但像循环次数法可能属于分析方法而不是定理。 要检查是否有遗漏的重要定理，比如分摊分析中的某些定理，或者递归关系求解的其他方法。但可能用户需要的是最基础、最核心的定理，比如主定理、渐进符号的性质，以及一些组合复杂度时的规则，比如加法法则和乘法法则。 需要注意结构清晰，分点列出每个定理，并给出数学表达式和例子。例如，主定理的应用条件，以及不同情况下的结果。同时，可能需要提到多项式优越性定理，用于比较不同函数的增长级别。 另外，用户可能希望了解这些定理如何实际应用，所以每个定理后面加上一个例子会有帮助。例如，用主定理分析归并排序的时间复杂度，或者用线性性定理分析两个顺序执行的循环。 需要确保使用正确的中文术语，比如“紧确界”而不是“紧致界”，以及数学公式的正确LaTeX格式，比如使用$$包围的独立公式。同时，避免使用之前已经详细讨论过的内容，比如大O的定义，但可能需要简要回顾以保持连贯性。 最后，总结部分要强调这些定理的实际应用意义，帮助用户理解如何系统地进行算法分析。可能还需要提醒用户注意常见误区，比如忽略低阶项或错误应用主定理的情况。</think>以下是时间复杂度的核心定理及其数学表达，这些定理构成了算法复杂度分析的理论基础： --- ### **1. 渐进符号定理** **定理1.1（符号传递性）** 若 $f(n) = O(g(n))$ 且 $g(n) = O(h(n))$，则 $f(n) = O(h(n))$ **应用**：允许通过中间函数比较复杂度（例如：$n^2 = O(n^3)$，$n^3 = O(2^n)$ → $n^2 = O(2^n)$） **定理1.2（多项式优越性）** 对任意 $k>0$ 和 $a>1$，有： $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0 \quad \Rightarrow \quad n^k = o(a^n)$$ **意义**：指数复杂度永远超越多项式复杂度 --- ### **2. 主定理（Master Theorem）** **形式**：解决递归式 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$ **定理2.1** 比较 $f(n)$ 与 $n^{\log_b a}$ 的增长率： - **Case1**：若 $f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon})$，则 $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$ - **Case2**：若 $f(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log^k n)$，则 $T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log^{k+1} n)$ - **Case3**：若 $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ 且 $af(n/b) \leq cf(n)$，则 $T(n) = \Theta(f(n))$ **示例**：归并排序 $T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n)$ → $T(n)=\Theta(n \log n)$ --- ### **3. 平滑规则定理** **定理3.1（平滑函数条件）** 若 $f(n)$ 满足： 1. 单调递增 2. 对某个常数 $c$，有 $f(bn) = \Theta(f(n))$ 则递归式 $T(n) = T(n/b) + f(n)$ 的解为： $$T(n) = \Theta\left( f(n) \cdot \log n \right)$$ **应用**：二分查找 $T(n) = T(n/2) + O(1)$ → $O(\log n)$ --- ### **4. 线性性定理** **定理4.1（加法法则）** 若算法包含顺序执行的两个部分： - 部分1时间复杂度为 $O(f(n))$ - 部分2时间复杂度为 $O(g(n))$ 则总时间复杂度为： $$O(f(n) + g(n)) = O(\max(f(n), g(n)))$$ **定理4.2（乘法法则）** 若算法包含嵌套执行的两部分： - 外层循环时间复杂度为 $O(f(n))$ - 内层循环时间复杂度为 $O(g(n))$ 则总时间复杂度为： $$O(f(n) \cdot g(n))$$ **示例**：双重循环 → $O(n^2)$ --- ### **5. 递归树定理** **定理5.1** 对于递归式 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$，其递归树的总代价为： $$T(n) = \sum_{k=0}^{\log_b n} a^k f(n/b^k)$$ 当级数收敛时可直接求和得到精确复杂度 **示例**：分析快速排序平均情况复杂度 --- ### **重要推论** - **常数可忽略**：$O(100n^2 + 5n) = O(n^2)$ - **低阶项可忽略**：$O(n^3 + n^2 + n) = O(n^3)$ - **对数底数无关性**：$\log_a n = \Theta(\log_b n)$ --- **应用建议**： 1. 先通过主定理处理标准递归问题 2. 对非标准递归使用递归树法展开 3. 组合结构算法优先应用线性性定理 4. 指数复杂度问题必用多项式优越性定理验证 这些定理为算法复杂度分析提供了严格的理论框架，实际应用中需要根据算法结构选择合适定理的组合分析方法。
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