通项求解-主定理Master theorem

最新推荐文章于 2024-07-03 18:00:14 发布
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本文介绍主定理的应用，主要用于分析采用分治策略算法的时间复杂度。通过递归关系T(n)=aT(n/b)+f(n)，阐述了不同情况下T(n)的渐进界。

　　　主定理用于求解满足以下固定形式的递归通项，在采用分治策略中分析时间复杂度时，我们常可以得到这类形式递归关系。

　　　令a>=1, b>1 ，a,b均为常量，f(n)为一个函数，T(n)在非负整数集上的递归关系定义：

　　　T(n) = a T(n/b) + f(n),          (其中n/b 我们解释为floor or ceiling)

　　　1、如果/exists /varepsilon > 0 / f(n)=O(n^{log_b^a-/varepsilon})，则T(n)=/Theta(n^{log_b^a})
　　　2、如果f(n)=/Theta(n^{log_b^a}lg^kn)，则T(n)=/Theta(n^{log_b^a|lg^{k+1}n})，特别的，k=0时，即f(n)=/Theta(n^{log_b^a})则有T(n)=/Theta(n^{log_b^a}lgn)
　　　3、如果/exists /varepsilon, f(n)=/Theta(n^{log_b^a+/varepsilon})且，对于/forall足够大的n和某个的c，都有cf(n) /ge af({n /over b}),则T(n)=/Theta(f(n))。

　　　上面第３项中有一个错误。

　　　以上图片转自http://heaps.cn/?p=99　

 

            

 

主定理（Master theorem）与Akra–Bazzi定理
白马负金羁
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主定理是算法分析中的一个重要结论，它主要用于求解基于分治思想设计的递归算法的渐进复杂度。经典教材《算法导论》中也介绍过这个结论。尽管主定理应用起来十分方便，但并非所有的递归关系都可以用它来求得最终的渐进表示的复杂度。一个更加泛化的结论是由数学家Mohamad Akra 和 Louay Bazzi在1998年给出的后来以他们名字命名的定理——Akra-Bazzi定理
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首先搞清楚，有很多的递推，时间复杂度相应的有一个递推公式，用眼睛看这个公式去猜比较麻烦，例如： 所以，需要主定律来根递推公式的系数来推出T（n）到底是何方神圣。 首先我们看递推公式： 说通俗一点， 很直接的给了公式，看一下推导过程： Work是工作，每次迭代做一次，所以复杂度等于每一层的复杂度乘以迭代次数，总数为n每次分成a个小的问题，一共分b 次，每一次的额外复杂度（n/b）d，化简得到。（因为每次分层可能会舍弃一些分...
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For recurrent relation with the following format: \(T(n) = a T(\frac{n}{b}) + f(n)\) Let \(c=\log_b a\) be the critical exponent. Master theorem compares the relative growth of \(f(n)\) and \(n^{c}\),...
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