错排不容易系列之一（HDU1465)

最新推荐文章于 2019-07-12 17:22:05 发布

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本文探讨了错排问题的数学原理，通过递推公式D(n)=(n-1)[D(n-2)+D(n-1)]解析了当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数。并通过两种方法实现了错排问题的求解，一种是深度优先搜索（DFS），另一种是利用递推公式进行计算。

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解释+递推推导：

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

例题：不容易系列之一

1.首先我用DFS果断超时，把代码附上吧。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int n,sum,used[25],re[25];
void dfs(int step)
{
    if(step>n+1)
        return;
	if(step == n+1)
	{
		sum++;
		return;
	}
	for(int i = 1;i<=n;i++)
	{
		if(!used[i]&&i!=step)
		{
			re[step]=i;
			used[i] = i;
			dfs(step+1);
			used[i] = 0;
		}
	}
}
int main()
{
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		memset(used,0,sizeof(used));
		memset(re,0,sizeof(re));
		sum = 0;
		dfs(1);
		printf("%d\n",sum);
		//cout<<sum<<endl;

	}
	return 0;
}

2.错排AC代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
//错排公式f[n] = (n-1)*(f[n-1]+f[n-2])
long long n,sum[25];
void ju()
{

    sum[0] = 0;
    sum[1] = 0;
    sum[2] = 1;
    for(int i = 3;i<=20;i++)
    {
        sum[i] = (i-1)*(sum[i-1]+sum[i-2]);
    }
}
int main()
{
    ju();
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {

        printf("%lld\n",sum[n]);
    }

}