43、隐马尔可夫模型：原理、应用与拓展

隐马尔可夫模型：原理、应用与拓展

1. 马尔可夫模型基础

在图像理解中，常将观察到的模式建模为过渡系统。马尔可夫模型假设系统在不同时刻可处于有限个状态 (X_1, X_2, X_3, \ldots, X_n) 之一，且处于某一状态的概率仅由近期历史决定。

一阶马尔可夫模型假定这些概率仅依赖于前一个状态，用矩阵 (A = [a_{ij}]) 表示，其中 (a_{ij} = P(\text{系统处于状态 } j \mid \text{系统曾处于状态 } i))，满足 (0 \leq a_{ij} \leq 1) 且 (\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 1)（对于所有 (1 \leq i \leq n)），且这些参数与时间无关。

以天气预测为例，假设某天天气可能为晴天（1）、多云（2）或雨天（3），且当天天气仅概率性地依赖于前一天的天气。我们可以得到如下转移矩阵 (A)：
[
A =
\begin{bmatrix}
\text{sun} & \text{cloud} & \text{rain} \
0.50 & 0.375 & 0.125 \
0.25 & 0.125 & 0.625 \
0.25 & 0.375 & 0.375
\end{bmatrix}
]
这意味着晴天后下雨的概率是 0.125，雨天后多云的概率是 0.375 等。

2. 隐马尔可夫模型（HMM）

在许多实际应用中，系统的真实状态往往不可直接观测，我们只能观测到另一组状态 (Y_1, \ldots