傅里叶变换公式

最新推荐文章于 2025-04-22 10:19:12 发布
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分类专栏： 信号处理 文章标签： 傅里叶变换 公式 FT FS DTFT
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傅里叶变换的目的：有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。

1、FS: (Fourier series)

连续时间周期信号的傅里叶级数，时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点。
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时域上连续周期函数，采用FS（傅里叶级数）分解为频域上为非周期、连续的以幅值和相位表征的变换对（符合“时域上连续->频域非周期”、“时域上周期->频域上离散”）
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2、FT: (Fourier Transform)

连续时间非周期信号的傅里叶变换，用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。
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时域上连续的非周期函数，采用FT（傅里叶变换）表示成频域上的非周期、连续的以幅值和相位表征的变换对（符合“时域上连续->频域非周期”、“时域上非周期->频域上连续”）
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3、DTFT:(Discrete Time Fourier Transform)

DTFT是离散时间傅立叶变换 ，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅立叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。
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时域上离散序列的非周期函数，采用DTFT(离散时间傅里叶变换)表示成频域上周期、连续的以幅值和相位表征的变换对（符合“时域上离散->频域周期”、“时域上非周期->频域上连续”）
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4、DFS: （Discrete Fourier Series）

离散傅里叶级数，当离散的信号为周期序列时，严格的讲，傅立叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅立叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅立叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅立叶分析。
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时域上离散的周期序列函数，采用DFS(离散傅里叶级数)表示成频域上周期、离散的以幅值和相位表征的变换对。（符合“时域上离散->频域周期”、“时域上周期->频域上离散”）
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相互转化关系

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深入浅出通信原理 | 傅里叶变换
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sinc脉冲信号τsinc(τt)的傅里叶变换，令脉冲幅度τ趋于无穷大，就可以得到单位冲激信号的傅里叶变换。连续谱X(f)求其对应的非周期信号x(t),以f0为间隔对X(f)进行采样，采样结果乘以f0，从而得到一个周期信号的傅里叶系数Ck,公式为Ck=f0×X(kf0)。矩形脉冲信号对应的傅里叶变换是(f)=τsinc(τf),若τ趋近于无穷大是，演变成单位冲激函数(f)=τ sinc(τf)。单位冲激函数的特点，当t=0时，幅度无穷大，t≠0时，幅度为0,宽度为0,面积为1。
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本文将从傅里叶级数推导出傅里叶公式，不了解傅里叶级数的可以看我的另一篇笔记傅里叶级数公式推导笔记傅里叶级数是针对周期函数，每一个周期函数都可以通过若干正弦余弦函数来表示，但是对于非周期函数，就不能直接套傅里叶级数公式，那么我们应该怎么处理非周期函数呢？先附上一张图，表示从傅里叶级数到傅里叶变化的大致思路：图1 左半边是时域图，右半边是频域图我们可以从图1总结三点：周期函数可以根据傅里叶级数画出频...
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第三章 傅里叶变换重要概念与重要公式一、傅里叶级数1、三角函数形式的傅里叶级数任何周期信号f (t ) 可以分解为∞(1)f (t ) a + a cos n ωt +b sin n ωt∑ ( ) ( )0  n 1 n ...
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<think>好的，我现在需要处理用户关于傅里叶变换的查询。首先，用户要求提供傅里叶变换的相关公式、表格，并涉及数学和IT应用。根据系统指令，我需要确保所有数学表达式正确使用$...$或$$...$$格式，并且回答用中文，结构清晰。同时需要生成相关问题，并在引用处添加标识。 首先，我需要回顾傅里叶变换的基本公式。傅里叶变换的连续形式是积分，离散形式是求和。记得区分连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）。每个变换的公式和应用场景不同，需要明确说明。 接下来，用户提到表格，可能需要对比不同变换的公式、定义域、应用领域等。例如，CTFT用于连续非周期信号，DTFT用于离散非周期，DFT用于离散周期信号。FFT是DFT的高效算法。这些信息可以整理成表格，但Markdown表格在回答中是否可行？用户允许使用代码块，但表格可能需要调整格式。或者用文本形式呈现，用分隔符隔开各列。 然后，数学部分需要确保LaTeX语法正确。例如，连续傅里叶变换公式是积分从负无穷到正无穷，时域函数乘以指数函数。逆变换则是相反的积分。离散情况下，求和代替积分，变量变为n和k。这部分要仔细检查符号是否正确，比如使用\omega还是f，指数是负号还是正号。 IT应用方面，傅里叶变换在信号处理、图像分析、数据压缩、通信系统等领域的应用。需要举例说明，比如JPEG压缩使用DCT（离散余弦变换），是傅里叶变换的一种变体。MATLAB中的实现使用fft函数，可以引用用户提供的资料中的ifourier命令，但用户主要问的是公式，可能应用部分需要简明。 生成的相关问题要围绕傅里叶变换的推导、应用、比较、计算方法等。例如，如何推导傅里叶变换公式？在图像处理中的具体应用？与拉普拉斯变换的区别？MATLAB中的实现步骤？ 引用部分，用户提供了两个引用，引用[1]关于傅里叶级数和变换的关系，引用[2]关于MATLAB的应用。在回答中提到傅里叶变换重要性时添加[^1]，在MATLAB部分添加[^2]。 最后，确保回答结构清晰，分点列出公式，用数学格式正确，表格用文本对齐，应用部分分领域说明。检查是否有遗漏的变换类型，比如可能还需要提到傅里叶级数，但用户主要问变换，所以可能不需要深入级数部分。同时注意用户可能需要公式表格，所以整理各个变换的公式、定义域和性质是关键。</think>### 傅里叶变换核心公式与IT应用 #### 一、傅里叶变换核心公式 1. **连续傅里叶变换（CTFT）** 定义： $$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt $$ 逆变换： $$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega $$ 应用：连续非周期信号的频域分析。 2. **离散时间傅里叶变换（DTFT）** 定义： $$ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} $$ 逆变换： $$ x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega $$ 应用：离散非周期信号（如数字滤波设计）。 3. **离散傅里叶变换（DFT）** 定义： $$ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \quad (k=0,1,...,N-1) $$ 逆变换： $$ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2\pi}{N}kn} \quad (n=0,1,...,N-1) $$ 应用：计算机实现的频谱分析（如音频处理）。 4. **快速傅里叶变换（FFT）** 本质：DFT的高效算法，复杂度$O(N\log N)$（对比DFT的$O(N^2)$）[^2]。 --- #### 二、公式对比表格 | 变换类型 | 公式形式 | 输入信号特点 | 输出特点 | 典型应用场景 | |-----------------|------------------------|--------------------|--------------------|--------------------| | 连续傅里叶变换 | 积分（$-\infty$到$\infty$） | 连续、非周期 | 连续、非周期频谱 | 模拟信号分析 | | 离散时间傅里叶变换 | 无限级数求和 | 离散、非周期 | 连续周期频谱 | 数字滤波器设计 | | 离散傅里叶变换 | 有限项求和 | 离散、周期 | 离散、周期频谱 | 计算机信号处理 | | 快速傅里叶变换 | 分治优化DFT计算 | 离散、有限长 | 同DFT | 实时频谱分析 | --- #### 三、IT应用实例 1. **信号处理** - 音频去噪：通过FFT分离噪声频段并滤除。 - 通信系统：OFDM技术利用FFT实现多载波调制。 2. **图像处理** - JPEG压缩：使用离散余弦变换（DCT，傅里叶变换的变体）压缩图像频域信息。 3. **数据科学** - 频域特征提取：在时间序列分析中，通过傅里叶变换提取周期性特征。 4. **MATLAB实现** ```matlab % 计算信号的FFT x = [1, 2, 3, 4]; X = fft(x); % 正变换 x_reconstructed = ifft(X); % 逆变换 ``` 使用`fourier`和`ifourier`命令可处理符号运算。 ---
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