数值分析-范数的基础知识总结

什么是范数？

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。
在数学上，范数包括向量范数和矩阵范数。
向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。 一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算AX=B，可以将向量X变化为B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。

为什么要引入范数？

我们都知道，函数与几何图形往往是有对应的关系，这个很好想象，特别是在三维以下的空间内，函数是几何图像的数学概括，而几何图像是函数的高度形象化。
但当函数与几何超出三维空间时，就难以获得较好的想象，于是就有了映射的概念，进而引入范数的概念。
当我们有了范数的概念的后，我们就可以引出两个向量的距离的定义，这个向量可以是任意维数的。通过距离的定义，进而我们可以讨论逼近程度，从而讨论收敛性、求极限。

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向量的范数

定义

在数学上，对于向量范数的定义，就是只要满足以下三条性质的函数，我们就可以称为它为范数。

所以，范数的是一个宽泛的概念，有很多种，但是我们一般只会用到常用的范数，接下来我们介绍常用的向量范数。

常用向量函数

L0范数：
定义为

即非0元素个数。
L0范数表示向量中非零元素的个数。L0范数的这个属性，使其非常适用于机器学习中的稀疏编码。在特征选择中，通过最小化L0范数来寻找最少最优的稀疏特征项。但是，L0范数的最小化问题是NP难问题。而L1范数是L0范数的最优凸近似，它比L0范数要更容易求解。因此，优化过程将会被转换为更高维的范数（例如L1范数）问题。

L1范数：
定义为

L1范数是向量中各个元素绝对值之和，也被称作“Lasso regularization”（稀疏规则算子）。

L2范数：
定义为

L2范数是最常用的范数了，我们用的最多的度量距离欧氏距离就是一种L2范数。在回归里面，有人把加了L2范数项的回归c称为“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减weight decay”。它被广泛的应用在解决机器学习里面的过拟问题合。

为什么L2范数可以防止过拟合？回答这个问题之前，我们得先看看L2范数实际上是什么。
L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的规则项最小，可以使得的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这是有很大的区别的。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。为什么越小的参数说明模型越简单？因为当限制了参数很小，实际上就限制了多项式某些分量的影响很小,这样就相当于减少参数个数。

Lp范数：
定义为

其实，L0、L1、L2都是Lp范数的特例，分别对应P=0、1、2的情况。

无穷范数：
定义为

它主要被用来度量向量元素的最大值

PS

L2范数其实就是向量的标准内积，向量的长度一定是范数，长度是范数的充分条件，但不是必要条件，也就是说，范数不一定就是向量的长度。由长度定义的性质可知，满足长度的定义要符合平行四边形。举一个反例就可以证明非必要性：向量L1范数不满足平行四边形法则（A=(0,1)、B=(1,0)）。
由内积决定的长度具有更丰富的几何结构。

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矩阵的范数

跟向量的范数定义类似，只不过矩阵的范数的性质比向量的范数性质多了一条相容性。
我们直接引出矩阵的范数定义：

定义

矩阵范数的第三条性质也称为加法相容性，第四条是乘法相容性，前提都是矩阵之间可以进行加法或乘法的运算。

常用矩阵范数

1-范数：

A的每列元素绝对值之和的最大值，也称为A的列范数。

无穷-范数：

A的每行元素绝对值之和的最大值，也称为A的行范数。

2-范数：

谱范数，即ATA矩阵的最大特征值的开平方。

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PS

计算机领域用的比较多的就是迭代过程中收敛性质的判断，一般迭代前后步骤的差值的范数表示其大小，常用的是二范数，差值越小表示越逼近实际值，可以认为达到要求的精度，收敛。
总的来说，范数存在的意义是为了实现比较距离。比如，在一维实数集合中，我们随便取两个点4和9，我们知道9比4大，但是到了二维实数空间中，取两个点（1，0）和（3，4），这个时候我们就没办法比较它们之间的大小，因为它们不是可以比较的实数，于是我们引入范数这个概念，把我们的（1，0）和（3，4）通过范数分别映射到实数1 和 5 ，这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到，范数它其实是一个函数，它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。