正项级数的审敛法和交错级数的审敛法

正向级数

首先补充一下一个误区:级数的性质:收敛级数的无穷项趋于0,但这并不是充分条件(调和级数)

但是下边这个方法就可以当做充分条件:

柯西审敛原理:当从某个N开始,之后的和都会小于任意小的正数,则收敛.

二者的不同是柯西审敛原理是从一个整体上来讲的

六种审敛法

第一:级数的部分和数列是有界的,这是充分必要条件.

第二:两种比较审敛法

        所谓比较审敛法,就是通过比较两个级数,通过其中的一个级数的收敛性找到另一个级数的

1比较Un和Vn,如果Un>=Vn,那么Un收敛或者Vn发散另一个都会一样.通常利用

        调和级数和等比数列(看公比大小)

证明;Un收敛的时候,因为大于Vn,所以符合定理1——有界,另一个用反证法

推论:先来明确两个性质:

        第一:线性运算不会对收敛性产生影响

        第二:去掉级数前边部分的有限项不会影响函数的收敛性

        (其实真正的作用是从n后边的项收敛反推出整体的收敛.)

 则推论:Vn是收敛的,那么如果从N往后,ifUn<k*Vn,那么Un收敛

2极限形式:在极限情况下比较Un和Vn单项,用比值形式,如果常数或者0,下边的收敛

        则上收敛, 如果常数或者∞,下边的发散上发散.

证明:其实根据推论的两个性质,常数可以看作1 ,n之后的部分可以反映整体,那么其实

         已经出来了       

第三:比值审敛法

        同一个级数前后项相比较,比值小于1收,大于放,一般用于一比能消除一大堆的

第四:根值审敛法(柯西判别法)

        limn->∞时,n次根号下的项如果小于1,则收敛,反之则发散

 第三与第四的证明:

        1:p<1首先都能找到一个比p稍大或者稍小的数,但不改变与1的关系,设为r吧,接下来把开方或                                                      者分母乘到右边去,然后右边就会形成一个等比数列,因为等比数列(公比小于1)是收敛的,

so根据定理二的推论,得证.

        2:p>1,不满足必要条件趋于0,所以发散.

第五:极限审敛法(好容易混淆啊喂)

        如果n*Un=c/∞,则发散,证明

        如果n的p次方(p>1)*Un=c/0,则收敛

        思考:有些类似极限形式的比较审敛法的应用,其实就相当于比较的项变成了n的幂

        可以用于有n的k次方分之一的场景

交错级数

莱布尼茨定理:当绝对值级数满足

        1无穷项趋向于0

        2后一项比前一项小

        则绝对收敛.

好穷酸,在写一下性质吧

绝对收敛函数的性质:

1可交换性:交换项不会影响收敛性

2如果级数绝对收敛,级数一定收敛.

        证明:取Vn=1/2*(Un+|Un|),Vn级数肯定是比|Un|级数小的,所以收敛,则2Vn收敛.那么2Vn-|Un|收敛(两收敛级数相加减),则Un收敛.

3绝对收敛级数的柯西乘积也是绝对收敛的,且和是这两个和的乘积

        柯西乘积:摆成矩阵向左下对角线乘