HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_hmm hind-优快云博客

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序列数据

机器学习的数据通常有两类，最常见的是独立同分布数据，其次就是序列数据。对于前者，一般出现在各种分类/回归问题中，其最大似然估计是所有数据点的概率分布乘积。对于后者，一般出现在各种时间序列问题中，比如在特定时间特定区域内的降雨量数据、每天的货币汇率数据，以及上下文相关的，如语音识别中的声学特征数据、文本的字符序列数据、生物领域如DNA数据等。需要指出，本文介绍的HMM模型适用于一切序列问题，而不仅仅是时序问题。

序列数据的平稳和非平稳性

在平稳状况下，虽然数据随时间变化，但数据的分布(或来源)不变。而对于非平稳状况，情况更为复杂，生成数据的分布本身也在变化。这里我们讨论简单的平稳情况。

马尔科夫模型(Markov models)

与马尔科夫决策过程(MDP)类似，本文讨论的马尔科夫模型也满足马尔科夫性，即未来的预测只依赖于最近的观测，而与过去的历史无关。换言之，马尔科夫性是指不具备记忆特质。这是因为，如果考虑未来观测对所有过去观测的通用依赖，就会导致复杂性的无限增加。而为了预测未来，最近的观测总是比过去历史的观测更有信息量、更有价值。

对于通用的马尔科夫链(Markov chain)，我们可以用以下联合概率表示：

（公式1）

其中 $x_{1},x_{2},...,x_{N}$ 表示观测序列，该式很好理解，即 $p(x_{1})p(x_{2}|x_{1})p(x_{3}|x_{1}x_{2})...p(x_{N}|x_{1}x_{2}...x_{N-1})=p(x_{1}x_{2}...x_{N-1}x_{N})$

现在考虑一阶马尔科夫链(ﬁrst-order Markov chain)，即满足未来的状态仅与当前状态相关，与任何历史的状态无关，用下图表示：

（图1）

此时上述公式变为：

（公式2）

直观表示为： $p(x_{1}x_{2}...x_{N-1}x_{N})=p(x_{1})p(x_{2}|x_{1})p(x_{3}|x_{2})...p(x_{N}|x_{N-1})$

根据马尔科夫性(未来只依赖于最近，而与过去的历史无关)可知：

（公式3）

对于平稳序列数据， $p(x_{n}|x_{n-1})$ 条件概率对于不同n是一样的，这样的模型叫做同质马尔科夫链。举个例子，如果这个条件概率依赖于某个可调节的参数(从训练数据中得到)，那么该链的所有条件概率就能共享该参数。

现在考虑高阶马尔科夫链(higher-order Markov chain)，即允许更早的观测对于此刻有影响，比如二阶马尔科夫链(second-order Markov chain)是允许预测值依赖于前两个观测。用下图表示：

（图2）

它的联合概率分布表示为：

（公式4）

高阶马尔科夫链相对于一阶马尔科夫链增加了灵活性，但也增加了参数量。事实上，M阶马尔科夫链的参数随M指数级增加，从而导致该方法不实用。

隐马尔科夫模型(Hidden Markov models)

HMM在马尔科夫模型中引入隐变量(也叫潜在变量)，已知有 ${x_{1},x_{2},...x_{n}}$ ，现引入 ${z_{1},z_{2},...z_{n}}$ ，具体结构如下图所示：

（图3）

上图满足当给定 $z_{n}$ 时， $z_{n-1}$ 和 $z_{n+1}$ 是条件独立的，即：

（公式5）

因此，HMM的联合概率分布可表示为：

（公式6）

观察可知，对于任意两个观测值 $x_{n}$ 和 $x_{m}$ ，总存在一条经过隐变量的路径连接它们。因此， $x_{n+1}$ 的预测概率 $p(x_{n+1}|{x_{1},x_{2},...x_{n}})$ 不存在条件独立性，即 $x_{n+1}$ 必定依赖于所有的 ${x_{1},x_{2},...x_{n}}$ ，换言之，观测变量X不满足任意阶的马尔科夫性。

假设每个隐变量 $z_{n}$ 有K个状态(或K个取值)，则它可以表示为K维的向量，其中向量的值为1个元素为1，其余元素全为0. 我们对隐变量 $z_{n}$ 定义一个条件概率 $p(z_{n}|z_{n-1})$ ，那么该概率对于所有n的取值对应了一个矩阵，记为A。这个A就是转移矩阵，其中每个元素叫做转移概率。

我们把A的元素 $A_{jk}$ 定义为 $A_{jk}\equiv p(z_{nk}=1|z_{n-1,j}=1)$ ，它的含义是，在n-1时刻，z在j状态的取值为1，在n时刻，z在k状态的取值为1，事件发生的条件概率（可以看出，和n的取值无关，因为是平稳序列数据）。另外，由于 $A_{jk}$ 是概率，所以满足 $0\leqslant A_{jk}\leqslant 1$ ，以及根据上文状态定义，有 $\sum_{k} A_{jk}=1$ 。

条件概率 $p(z_{n}|z_{n-1})$ 用显式的公式可表示为：

（公式7）

该式含义是：在以A为转移矩阵的背景下，隐变量Z在n-1时刻(即 $z_{n-1}$ )向n时刻(即 $z_{n}$ )转移的总概率是A矩阵(KxK)若干元素的乘积，具体是n-1时刻在状态j的元素(即 $z_{n-1,j}$ )转移到n时刻在状态k的元素(即 $z_{n,k}$ )。

初始隐变量节点 $z_{1}$ 比较特殊，因为它没有父节点(没有节点指向它)。它的边际概率表示为：

（公式8）

其中 $\pi$ 是概率 $\pi _{k}\equiv p(z_{1k}=1)$ 构成的向量，不难理解， $\pi _{k}$ 的含义是：在时刻1，隐变量Z处于k状态（即初始化状态是k）的概率。由于 $z_{1k}$ 的取值不是0就是1，因此 $\pi _{k}^{z_{1k}}$ 只有在状态取值为k(即 $z_{1k}=1$ )时，才为 $\pi _{k}$ ，而在其余状态(即 $z_{1k}=0$ )都为1. 那么 $p(z_{1}|\pi )$ 就表示时刻1的隐变量的边际概率，它可通过对时刻1的所有K个状态累积得到。另外，根据定义有： $\sum_{k} \pi _{k}=1$