2286: [Sdoi]2011消耗战 ||【虚树】【树形DP】_sdoi2011第2轮day2】消-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/fd_xuan/article/details/50816082

Description

在一场战争中，战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。
侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到1号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

Input

第一行一个整数n，代表岛屿数量。
接下来n-1行，每行三个整数u,v,w，代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连，保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。
第n+1行，一个整数m，代表敌方机器能使用的次数。
接下来m行，每行一个整数ki，代表第i次后，有ki个岛屿资源丰富，接下来k个整数h1,h2,…hk，表示资源丰富岛屿的编号。
Output

输出有m行，分别代表每次任务的最小代价。

Sample Input

1 5 13

1 9 6

2 1 19

2 4 8

2 3 91

5 6 8

7 5 4

7 8 31

10 7 9

2 10 6

4 5 7 8 3

3 9 4 6

Sample Output

【数据规模和约定】

对于10%的数据，2<=n<=10,1<=m<=5,1<=ki<=n-1

对于20%的数据，2<=n<=100,1<=m<=100,1<=ki<=min(10,n-1)

对于40%的数据，2<=n<=1000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=min(15,n-1)

对于100%的数据，2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1

HINT

Source

Stage2 day2

这道题虚树其实是重点QAQ说一下虚树好了QAQ

首先虚树并不是一种数据结构，而是对树形处理的一种技巧QAQ

相信有很多神犇一定连什么是虚树都不知道但是用起来想喝水一样TAT
【无限ym】

简单的说一下虚树吧

需要用到lca&&栈&&dfs序

首先介绍一下建立虚树时候的主要思想：就是维护一个最右段的链【读者：woc 什么鬼……【好吧我承认是我第一次看见虚树的时候的想法】】

具体一下的介绍捏

这里写图片描述

比如我们要处理上面的这些红点

但是发现中间有很多点是可以省略的，两点之间的所有边缩成一条边，且权值最小

这里就要用到构建虚树的技巧了

一下请不断脑补 是在维护一条最右面的链！！！！

按照原树的dfs序号(记为dfn)递增顺序遍历选择的节点. 每次遍历节点都把这个节点插到树上.

首先虚树一定要有一个根. 随便扯一个不会成为询问点的点作根.

维护一个栈,它表示在我们已经(用之前的那些点)构建完毕的虚树上,以最后一个插入的点为端点的DFS链.

设最后插入的点为p(就是栈顶的点),当前遍历到的点为x.我们想把x插入到我们已经构建的树上去.

求出lca(p,x),记为lca.有两种情况:

　　1.p和x分立在lca的两棵子树下.

　　2.lca是p.

　　(为什么lca不能是x?

　　因为如果lca是x,说明dfn(lca)= dfn(x) < dfn(a),而我们是按照dfs序号遍历的,于是dfn(a) < dfn(x),矛盾.)

对于第二种情况,直接在栈中插入节点x即可,不要连接任何边(后面会说为什么).

对于第一种情况,要仔细分析.

我们是按照dfs序号遍历的(因为很重要所以多说几遍……),有dfn(x)> dfn(p) > dfn(lca).

这说明什么呢? 说明一件很重要的事:我们已经把lca所引领的子树中,p所在的子树全部遍历完了!

　　简略的证明:如果没有遍历完,那么肯定有一个未加入的点h,满足dfn(h ) < dfn(x),

　　　　　　　我们按照dfs序号递增顺序遍历的话,应该把h加进来了才能考虑x.

这样,我们就直接构建lca引领的,p所在的那个子树. 我们在退栈的时候构建子树.

p所在的子树如果还有其它部分,它一定在之前就构建好了(所有退栈的点都已经被正确地连入树中了),就剩那条链.

如何正确地把p到lca那部分连进去呢?

设栈顶的节点为p,栈顶第二个节点为q.

重复以下操作:

　　如果dfn(q)>dfn(lca),可以直接连边q->p,然后退一次栈.

　　如果dfn(q)=dfn(lca),说明q=lca,直接连边lca->p,此时子树已经构建完毕.

　　如果dfn(q)< dfn(lca),说明lca被p与q夹在中间,此时连边lca->q,退一次栈,再把lca压入栈.此时子树构建完毕.

　　　　如果不理解这样操作的缘由可以画画图…..

最后,为了维护dfs链,要把x压入栈. 整个过程就是这样…..

http://www.lxway.com/40452412.htm

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=250010,inf=1e9;
const long long oo=1e17;
struct data{int to,next,w;}e[maxn*2];
int head[maxn],p[maxn],fa[maxn][20],dep[maxn],del[maxn],st[maxn];
long long mn[maxn];
int cnt,n,m,sz,top;
void ins(int u,int v,int w){cnt++;e[cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;e[cnt].w=w;}
void insert(int u,int v,int w){ins(u,v,w);ins(v,u,w);}

void dfs(int x)
{
    p[x]=++sz;
    for(int i=0;i<=18;i++)
        fa[x][i+1]=fa[fa[x][i]][i];
    p[x]=++sz;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
        if(e[i].to!=fa[x][0])
        {
            mn[e[i].to]=min(mn[x],1ll*e[i].w);
            dep[e[i].to]=dep[x]+1;
            fa[e[i].to][0]=x;
            dfs(e[i].to);
        }
}
int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    int d=dep[x]-dep[y];
    for(int i=0;i<=19;i++)
        if((d>>i)&1)x=fa[x][i];
    if(x==y)return x;
    for(int i=19;i>=0;i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i])
            x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}

long long DP(int x)
{
    long long ret=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
        ret+=DP(e[i].to);
    head[x]=0;
    if(!ret)ret=oo;
    if(del[x]||mn[x]<ret)ret=mn[x];
    return ret;
}

int a[maxn];
bool cmp(int x,int y){return p[x]<p[y];}
void ini()
{
    top=cnt=0;
    int K;
    scanf("%d",&K);
    for(int i=1;i<=K;i++)scanf("%d",&a[i]),del[a[i]]=1;
    sort(a+1,a+1+K,cmp);
    st[++top]=1;
    for(int i=1;i<=K;i++)
    {
        int x=a[i],par=lca(x,st[top]);
        if(dep[par]<dep[st[top]])
        while(top>1)
        {
            if(dep[par]>=dep[st[top-1]])
            {
                ins(par,st[top],0);top--;
                break;
            }
            ins(st[top-1],st[top],0);
            top--;
        }
        if(st[top]!=par)st[++top]=par;
        if(st[top]!=x)st[++top]=x;
    }
    while(top>1)ins(st[top-1],st[top],0),top--;
    printf("%lld\n",DP(1));
    for(int i=1;i<=K;i++)del[a[i]]=0;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        insert(u,v,w);
    }
    mn[1]=oo;dfs(1);
    scanf("%d",&m);
    memset(head,0,sizeof(head));
    while(m--)
        ini();
    return 0;
}