求素数的算法

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本文介绍了两种素数判断算法，并对其进行了逐步优化。首先通过遍历所有小于n的数来判断n是否为素数，时间复杂度为O(n)；然后通过排除偶数的方式进一步优化算法，将时间复杂度降低至O(n/2)。此外，还探讨了如何通过缩小判断范围至sqrt(n)以提高算法效率。

注意: 如果没有特殊说明, 以下讨论的都是针对n为素数时的时间复杂度

1. 根据概念判断:

如果一个正整数p 只有两个因子, 1和p，则称p为素数.

代码:


bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2) return false;

    for(int i = 2; i < n; ++i)
        if(n%i == 0) 
	   return false;
    return true;
}

时间复杂度O(n).

2. 改进, 去掉偶数的判断(因为除2之外，其他的偶数不可能是偶数)

代码:

bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2) return false;
    if(n == 2) return true;

    for(int i = 3; i < n; i += 2)
        if(n%i == 0) return false;

    return true;
}

时间复杂度O(n/2), 速度提高一倍.

ps:上面两例中，i 的取值范围都是从2 到 n 的，

实际上，i 的范围可以是到 n/2 ，甚至是 sqrt (n) ，这样能缩短判断的范围，提高速度