第二类斯特林数学习笔记

第二类斯特林数

定义

第二类斯特林数 $S(n,m)$ 表示将 $n$ 个不同的小球放到 $m$ 个相同的盒子里的方案数。$S(n,m)$ 也可以用 $\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}$ 表示。

公式

递推公式：$S(n,m)=S(n-1,m-1)+mS(n-1,m)$。即考虑第 $n$ 个球是单独新分到一个盒子或者和前面的球装在同个盒子里。如果是单独新分到一个盒子里，那么就是 $S(n-1,m-1)$，如果和前面的球装在一起，也就是从 $m$ 个盒子里选一个装，即 $mS(n-1,m-1)$.

容斥原理：
$$S(n,m)=\frac{{\sum }_{k=0}^m(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(m-k{)}^n}{m!}$$
即枚举空盒的数量 $k$，然后 $m$ 个盒子里选出 $k$ 个为空，剩下的随便放，因为盒子是相同的，所以要除以盒子数量的阶乘 $m!$。
这个式子可以化为卷积形式：
$$\begin{gathered} S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(m-k{)}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m}\right) \\ S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(m-k{)}^n\frac{m!}{k!(m-k)!} \\ S(n,m)=\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(m-k{)}^n\frac{1}{k!(m-k)!} \\ S(n,m)=\sum _{k=0}^m\frac{(-1{)}^k}{k!}\cdot \frac{(m-k{)}^n}{(m-k)!} \end{gathered}$$
令 $A(x)=\frac{(-1{)}^k}{k!},B(x)=\frac{m^n}{m!}$，则 $S(n,m)={\sum }_{k=0}^{m}A(k)B(m-k)$。是经典的卷积形式，可以用 $FFT/NTT$ 在 $\text{O(nlogn)}$ 的时间内解决。

具有组合意义的等式：
$$\sum _{k=0}^m\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}{n}^{\underline{k}}=n^m$$
也就是 ${\sum }_{k=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}k!=n^m$。
其中 $n^{\underline{k}}$ 表示 $n$ 的 $k$ 次下降幂，即 $n(n-1)\cdots (n-k+1)$。

右边就是 $m$ 个球任意放到 $n$ 个盒子里的方案数，左边就是枚举非空盒子的数量 $k$，选出这 $k$ 个非空盒子，$m$ 个球分到 $k$ 个盒子里，盒子可以调换顺序（算不同方案）$k!$。

证明：
令 $f(m)={\sum }_{k=0}^m\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}{n}^{\underline{k}}$.
则 $f(0)=1$.
当 $m>0$ 时
$$\begin{array}{rl}f(m)& =\sum _{k=0}^m\left\{\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right\}{n}^{\underline{k}}\\ & =\sum _{k=1}^m\left\{\begin{array}{c}m-1\\ k-1\end{array}\right\}{n}^{\underline{k}}+\sum _{k=0}^{m-1}k\left\{\begin{array}{c}m-1\\ k\end{array}\right\}{n}^{\underline{k}}\\ & =\sum _{k=0}^{m-1}\left\{\begin{array}{c}m-1\\ k\end{array}\right\}{n}^{\underline{k+1}}+\sum _{k=0}^{m-1}k\left\{\begin{array}{c}m-1\\ k\end{array}\right\}{n}^{\underline{k}}\\ & =\sum _{k=0}^{m-1}(n-k)\left\{\begin{array}{c}m-1\\ k\end{array}\right\}{n}^{\underline{k}}+\sum _{k=0}^{m-1}k\left\{\begin{array}{c}m-1\\ k\end{array}\right\}{n}^{\underline{k}}\\ & =n\sum _{k=0}^{m-1}\left\{\begin{array}{c}m-1\\ k\end{array}\right\}\\ & =nf(m-1)\end{array}$$

性质

$$\sum _{i=0}^n{i}^k=\sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}\frac{(n+1{)}^{\underline{j+1}}}{j+1}$$
证明：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=0}^n{i}^k& =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}j!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\\ & =\sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}j!\sum _{i=j}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)\\ & =\sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}j!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{j+1}\right)\\ & =\sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}\frac{(n+1{)}^{\underline{j+1}}}{j+1}\end{array}$$