图灵杯-第四届“图灵杯”NEUQ-ACM 程序设计竞赛-F-一道简单的递推题

最新推荐文章于 2023-05-13 11:59:31 发布

f_zyj

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分类专栏：数论文章标签：矩阵快速幂

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本文介绍了一种解决特定类型问题的方法——矩阵快速幂。通过两个AC代码示例，展示了如何利用该方法解决典型问题，并分享了作者在实现过程中的一些心得和改进。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

ACM模版

描述

题解

典型的矩阵快速幂问题，官方题解说需要用到滚动优化，是为了减少拷贝的次数……这里可以使用引用来减少拷贝，并且注意 long long，最开始输错了 0，不按套路出牌，竟然不是九个零，是十个！！！这里提供两个代码，都是矩阵快速幂，模版不同而已~~~

做这个题也让我发现了自己的一个知识漏洞，对引用认识不到位，同时也发现了自己模版中的缺陷，今天好好改了改，希望可以进一步完善她！

代码

One：

//AC 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>

#define mod(x) ((x) % MOD)

using namespace std;

typedef long long ll;

/*
 *  矩阵快速幂 n*n矩阵的x次幂
 */

const int MAXN = 111;
const int MOD = 1e9 + 7;

int n;

struct mat
{
    int m[MAXN][MAXN];

    //  矩阵乘法
    mat operator * (mat &b) const
    {
        mat ret;
        memset(ret.m, 0, sizeof(ret.m));

        for (int k = 1; k <= n; k++)
        {
            for (int i = 1; i <= n; i++)
            {
                if (m[i][k])
                {
                    for (int j = 1; j <= n; j++)
                    {
                        ret.m[i][j] = mod(ret.m[i][j] + (ll)m[i][k] * b.m[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
        return ret;
    }

    void init_unit()
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            m[i][i] = 1;
        }
    }

    mat operator ^ (ll p) const
    {
        mat ret;
        ret.init_unit();
        mat a;
        memcpy(a.m, m, sizeof(m));

        while (p)
        {
            if (p & 1)
            {
                ret = ret * a;
            }
            p >>= 1;
            a = a * a;
        }
        return ret;
    }
} tmp; //  单元矩阵

ll k, F[MAXN];

int main()
{
    scanf("%d%lld", &n, &k);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", F + i);
    }

    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        tmp.m[i][i + 1] = 1;
    }
    for (int j = 1; j <= n; j++)
    {
        scanf("%d", &tmp.m[n][n - j + 1]);
    }

    tmp = tmp ^ (k - n);

    long long ans = 0;
    for (int j = 1; j <= n; j++)
    {
        ans = mod(ans + tmp.m[n][j] * F[j]);
    }

    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}

Two：

//  AC 代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

#define mod(x) ((x) % MOD)

using namespace std;

typedef long long ll;

/*
 *  矩阵快速幂 n * n矩阵的x次幂
 */

const int MAXN = 111;
const int MOD = 1e9 + 7;

int n;

struct mat
{
    int m[MAXN][MAXN];
} unit, a; //  单元矩阵

//  矩阵乘法
mat operator * (mat a, mat &b)
{
    mat ret;
    memset(ret.m, 0, sizeof(ret.m));

    for (int k = 0; k < n; k++)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            if (a.m[i][k])
            {
                for (int j = 0; j < n; j++)
                {
                    ret.m[i][j] = mod(ret.m[i][j] + (ll)a.m[i][k] * b.m[k][j]);
                }
            }
        }
    }
    return ret;
}

void init_unit()
{
    for (int i = 0; i < MAXN; i++)
    {
        unit.m[i][i] = 1;
    }
    return ;
}

mat pow_mat(mat &a, ll n)
{
    mat ret = unit;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
        {
            ret = ret * a;
        }
        n >>= 1;
        a = a * a;
    }
    return ret;
}

ll k, F[MAXN];

int main()
{
    init_unit();

    scanf("%d%lld", &n, &k);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%lld", F + i);
    }

    for (int i = 0; i < n - 1; i++)
    {
        a.m[i][i + 1] = 1;
    }
    for (int j = 0; j < n; j++)
    {
        scanf("%d", &a.m[n - 1][n - j - 1]);
    }

    if (k <= n)
    {
        printf("%lld\n", mod(F[k - 1]));
        return 0;
    }

    a = pow_mat(a, k - n);  //  a矩阵的x次幂

    long long ans = 0;
    for (int j = 0; j < n; j++)
    {
        ans = mod(ans + a.m[n - 1][j] * F[j]);
    }

    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}