【C++】RBTree——红黑树

一、红黑树的概念

红⿊树是⼀棵⼆叉搜索树，他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊，可以是红⾊或者⿊⾊。 通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍，因⽽是接近平衡的。

注意！！！树的路径是从根节点走到空节点（此处为NIL 节点）才算一条路径：

1.1 红⿊树的规则：

1. 每个结点不是红⾊就是⿊⾊
2. 根结点是⿊⾊的
3. 如果⼀个结点是红⾊的，则它的两个孩⼦结点必须是⿊⾊的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点。
4. 对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的⿊⾊结点

说明：《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是⿊⾊的规则。他这⾥所指的叶⼦结点不是传统的意义上的叶⼦结点，⽽是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。NIL是为了⽅便准确的标识出所有路径，《算法导论》在后续讲解实现的细节中也忽略了NIL结点，所以我们知道⼀下这个概念即可。

1.2 理解最长路径长度不超过最短路径长度的 2 倍

• 由规则4可知，从根到NULL结点的每条路径都有相同数量的⿊⾊结点，所以极端场景下，最短路径就就是全是⿊⾊结点的路径，假设最短路径⻓度为bh(black height）。

• 由规则2和规则3可知，任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点，所以极端场景下，最⻓的路径就是⼀⿊⼀红间隔组成，那么最⻓路径的⻓度为2*bh。

• 综合红⿊树的4点规则⽽⾔，理论上的全⿊最短路径和⼀⿊⼀红的最⻓路径并不是在每棵红⿊树都存在的。假设任意⼀条从根到NULL结点路径的⻓度为x，那么bh <= h <= 2*bh。

1.3 红⿊树的效率

假设N是红⿊树树中结点数量，h最短路径的⻓度，那么 $2^h$− 1 <= N < $2^{2\ast h}$ − 1 , 由此推出h ≈ logN ，也就是意味着红⿊树增删查改最坏也就是⾛最⻓路径 2 ∗ logN ，那么时间复杂度还是O(logN) 。

红⿊树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过⾼度差直观的控制了平衡。红⿊树通过4条规则的颜⾊约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次，但是相对⽽⾔，插⼊相同数量的结点，红⿊树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。

二、 红⿊树的实现

2.1 红⿊树的结构

三叉链结构，对比AVL数节点的定义，把平衡因子替换成节点颜色，采用枚举的方式：

// 枚举值表⽰颜⾊
enum Colour
{
   
	RED,
	BLACK
};
// 这⾥我们默认按key/value结构实现
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
   
	// 这⾥更新控制平衡也要加⼊parent指针
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)