数组中出现次数超过一半的数字

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题目：数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字。  

分析：

     1.首先我们想到如果是一个排序好的数组，那么我们只需要遍历一次数组，统计好每个数字出现的次数，如果大于数组长度的一半就输出这个数字。或者只需要直接输出array[N/2]的值即可。 

     2.如果是杂乱无章的数据我们可能回想先排序，然后按1操作即可。但是排序的最小时间复杂度（快速排序）O（N*logN） , 加上遍历，时间复杂度为: O（N*logN+N） ,如果选择直接输出array[N/2]的值的话，时间复杂度缩小为O（N*logN） 。

     3.如果说数字只有0-9的话可以考虑设计一个Hash table，遍历一次就能知道每个数字出现的次数。但是数字范围不知，所以Hash表不好创建。

     4.出现的次数超过数组长度的一半，表明这个数字出现的次数比其他数字出现的次数的总和还多。所以我们可以考虑每次删除两个不同的数，那么在剩下的数中，出现的次数仍然超过总数的一半。通过不断重复这个过程，不断排除掉其它的数，最终找到那个出现次数超过一半的数字。这个方法，免去了上述思路一、二的排序，也避免了思路三空间O（N）的开销，总得说来，时间复杂度只有O（N），空间复杂度为O（1），不失为最佳方法。

     例：数组 a[5]={0,1,2,1,1};

                 我们要查找的数字为1，操作步骤为：遍历整个数组，然后每次删除不同的两个数字，过程如下：

               0 1 2 1 1 =>2 1 1=>1

具体实现：我们在考虑删除两个不同的数字的时候，实际上可以同过计数来实现，而不是物理上真正的删除。 在遍历数组的时候保存两个值：一个是数组中的一个数字，一个是次数。当我们遍历到下一个数字的时候，如果下一个数字和我们之前保存的数字相同，则次数加1。如果下一个数字和我们之前保存的数字不同，则次数减1。如果次数为零，我们需要保存下一个数字，并把次数设为1。由于我们要找的数字出现的次数比其他所有数字出现的次数之和还要多，那么要找的数字肯定是最后一次把次数设为1时对应的数字。

基于这个思路，我们不难写出如下代码：

bool g_bInputInvalid = false;
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Input: an array with "length" numbers. A number in the array
// appear more than "length / 2 + 1" times.
// Output: If the input is valid, return the number appearing more than
// "length / 2 + 1" times. Otherwise, return 0 and set flag g_bInputInvalid
// to be true.
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
int MoreThanHalfNum(int* numbers, unsigned int length)
{
    if(numbers == NULL && length == 0)
    {
        g_bInputInvalid = true;
        return 0;
    }
 
    g_bInputInvalid = false;
 
    int result = numbers[0];
    int times = 1;
    for(int i = 1; i < length; ++i)
    {
        if(times == 0)
        {
            result = numbers[i];
            times = 1;
        }
        else if(numbers[i] == result)
            times++;
        else
            times--;
    }
 
    // verify whether the input is valid
    times = 0;
    for(int i = 0; i < length; ++i)
    {
        if(numbers[i] == result)
            times++;
    }
 
    if(times * 2 <= length)
    {
        g_bInputInvalid = true;
        result = 0;
    }
 
    return result;
}
 

       在上述代码中，有两点值得讨论：

（1）      我们需要考虑当输入的数组或者长度无效时，如何告诉函数的调用者输入无效。关于处理无效输入的几种常用方法，在本博客系列的第17题中有详细的讨论；

（2）      本算法的前提是输入的数组中的确包含一个出现次数超过数组长度一半的数字。如果数组中并不包含这么一个数字，那么输入也是无效的。因此在函数结束前我还加了一段代码来验证输入是不是有效的。

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另外一种思路：

分析：

如果一个数字才数组中出现的次数超过了数组长度的一半，那么对这个数组进行排序，位于数组中间位置的那个数就是出现次数超过一半的那个数。对数组排序的时间复杂度是O(nlog(n))，但是对于这道题目，还有更好的算法，能够在时间复杂度O(n)内求出。我们写过快速排序算法，其中的Partition()方法是一个最重要的方法，该方法返回一个index，能够保证index位置的数是已排序完成的，在index左边的数都比index所在的数小，在index右边的数都比index所在的数大。那么本题就可以利用这样的思路来解。

1. 通过Partition()返回index，如果index==mid，那么就表明找到了数组的中位数；如果index<mid，表明中位数在[index+1,end]之间；如果index>mid，表明中位数在[start,index-1]之间。知道最后求得index==mid循环结束。
2. 根据求得的index，遍历一遍数组，每当出现一个等于index所指向的数时time++，最后判断time是否大于数组长度的一半，如果大于则表明index所指向的数就是所求的数，如果不是，则表明不存在一个数出现的次数超过数组长度的一半。

代码实例：

View Code

#include<iostream> #include<stdlib.h> using namespace std;  //函数声明 int MoreThanHalf(int arry[],int start,int end,int len);//函数入口 int Partition(int arry[],int start,int end);//返回一个index，使index左边的数都比index所在的数小，index右边的数都比index所在数大 bool CheckMoreThanHalf(int arry[],int len,int result);//判断一个数在数组中是否有超过一半  int Partition(int arry[],int start,int end) {     int pivotkey=arry[start];     while(start<end)     {         while(start<end&&arry[end]>=pivotkey)             end--;         arry[start]=arry[end];         while(start<end&&arry[start]<=pivotkey)             start++;         arry[end]=arry[start];     }     arry[start]=pivotkey;     return start; }  bool CheckMoreThanHalf(int arry[],int len,int result) {     int time=0;     for(int i=0;i<len;i++)     {         if(arry[i]==result)             ++time;     }      bool isMoreThanHalf=true;     if(time*2<=len)         isMoreThanHalf=false;     return isMoreThanHalf; }  int MoreThanHalf(int arry[],int start,int end,int len) {     if(arry==NULL&&len<=0)         return -1;      int index=Partition(arry,start,end);     int middle=len/2;//中间位置     while(index!=middle)     {         if(index>middle)//如果调整数组以后获得的index大于middle，则继续调整start到index-1区段的数组             index=Partition(arry,start,index-1);         else//否则调整index+1到end区段的数组             index=Partition(arry,index+1,end);     }     //最后获取的index=middle，此时在middle左边的数小于arry[middle]，在其右边的数大于arry[middle]     int result=arry[middle];     if(!CheckMoreThanHalf(arry,len,result))         return -1;      return arry[middle]; }  void main() {     //int arry[]={5,1,7,3,0,2,8};//定义数组     int arry[]={2,2,1,1,3};//定义数组     int len=sizeof(arry)/sizeof(int);//求数组长度      int half=MoreThanHalf(arry,0,len-1,len);     cout<<half<<endl;      system("pause"); }