21、探索朱莉娅集与曼德勃罗集：数学之美与编程实践

探索朱莉娅集与曼德勃罗集：数学之美与编程实践

1 引言

朱莉娅集和曼德勃罗集是复分析和分形几何中两个重要的概念。它们不仅展示了数学的美感，还在计算机图形学、艺术设计等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍这两种集合的定义、生成方法及其可视化，旨在帮助读者理解其背后的数学原理，并掌握如何使用Mathematica实现这些集合的绘制。

2 朱莉娅集

2.1 定义

朱莉娅集是指复平面上那些在特定迭代下保持有界的点的集合。考虑复函数 (z \mapsto z^2 + c)，其中 (c) 是一个常数。与复数 (c) 相关的朱莉娅集是复平面上那些其迭代序列保持有界的点的集合。例如，如果 (c = -0.5)，我们有以下代码用于生成和可视化朱莉娅集：

Clear[f]
f[z_Complex] := Nest[f, 0.8 + Nest[f, 0.9 + I, 1000], 10]

JuliaTest[x_, y_, n_, c_] := 
  Compile[{
  
  {x, _Real}, {y, _Real}, {n, _Integer}, {c, _Complex}},
   Module[{z, count = 0},
    z = x + y I;
    While[Abs[z] < 2.0 && count < n, z = z^2 + c; count++];
    count]]

DensityPlot[
 JuliaTest[x, y, 50, -0.5], {x, -2.0, 2.0}, {y, -2.0,