算法解析与实现：区间操作、扫雷、异或和、图遍历与计数
这篇博客详细介绍了多种算法的思路和C++实现，包括区间合并问题的优化、扫雷游戏的暴力解法、求前缀异或和的直接遍历、区间求和的基础莫队算法以及图的奇环判断。还探讨了在不同场景下如何应用这些算法，并提供了相应的代码示例。
题目链接
小sun的假期
思路
区间合并
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#define dbg(a) cout<<#a<<" : "<<a<<endl;
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);
#define PAUSE system("pause")
#define sd(a) scanf("%d",&a)
#define sll(a) scanf("%intd",&a)
#define sdd(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define sddd(a,b,c) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)
#define sf(a) scanf("%lf",&a)
#define sff(a,b) scanf("%lf%lf",&a,&b)
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
void merge(vector<PII> &segs)
{
vector<PII> res;
sort(segs.begin(), segs.end());
int st = -2e9, ed = -2e9;
for (auto seg : segs)
if (ed < seg.first)
{
if (st != -2e9)
res.push_back({st, ed});
st = seg.first, ed = seg.second;
}
else ed = max(ed, seg.second);
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
segs = res;
}
int main() {
int n, m;
sdd(n, m);
vector<PII> segs;
for(int i = 0; i < m; i ++) {
int l, r;
sdd(l, r);
segs.push_back({l, r});
}
merge(segs);
int st = 1;
int ans = -1;
for(auto it:segs) {
ans = max(it.first - st, ans);
st = it.second;
}
ans = max(ans, n - st);
cout << ans << endl;
return 0;
}
扫雷
思路
暴力
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#define dbg(a) cout<<#a<<" : "<<a<<endl;
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);
#define PAUSE system("pause")
#define sd(a) scanf("%d",&a)
#define sll(a) scanf("%intd",&a)
#define sdd(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define sddd(a,b,c) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)
#define sf(a) scanf("%lf",&a)
#define sff(a,b) scanf("%lf%lf",&a,&b)
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)
using namespace std;
const int ddx[] = { -1, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 1 }, ddy[] = { -1, 0, 1, -1, 1, -1, 0, 1 };
string str[1010];
int main() {
int n, m;
sdd(n, m);
for(int i = 0; i < n; i ++)
cin >> str[i];
rep(i, 0, n - 1){
rep(j, 0, m - 1) {
int cnt = 0;
for(int a = i - 1; a <= i + 1; a ++)
for(int b = j - 1; b <= j + 1; b ++) {
if(a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue;
if(str[a][b] == '*') cnt ++;
}
if(str[i][j] == '*') cout << '*';
else cout << cnt;
}
cout << endl;
}
return 0;
}
C异或和
思路
直接遍历一遍求前缀异或和即可
因为出现偶数的情况会消掉(我吐了)
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#define dbg(a) cout<<#a<<" : "<<a<<endl;
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);
#define PAUSE system("pause")
#define sd(a) scanf("%d",&a)
#define sll(a) scanf("%intd",&a)
#define sdd(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define sddd(a,b,c) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)
#define sf(a) scanf("%lf",&a)
#define sff(a,b) scanf("%lf%lf",&a,&b)
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)
using namespace std;
int main() {
int n;
sd(n);
int res = 0;
rep(i, 0, n - 1) {
int x;
sd(x);
res ^= x;
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
区间求和
思路
基础莫队
每个数字的某一个位置权值为x * cnt[x], 总共有cnt[x]个，所以每个数字的权值为 cnt[x]*cnt[x]*x
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010, M = 100010, S = 100010;
int n, m, len;
LL w[N], ans[M];
LL cnt[S];
LL ans1;
struct Query
{
int id, l, r;
}q[M];
int get(int x)
{
return x / len;
}
bool cmp(const Query& a, const Query& b)
{
int i = get(a.l), j = get(b.l);
if (i != j) return i < j;
return a.r < b.r;
}
void add(int x, int v)
{
ans1 -= (LL)cnt[x] * cnt[x] * x;
cnt[x] += v;
ans1 += (LL)cnt[x] * cnt[x] * x;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
len = max(1, (int)sqrt((double)n * n / m));
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
q[i] = {i, l, r};
}
sort(q, q + m, cmp);
for (int k = 0, i = 0, j = 1; k < m; k ++ )
{
int id = q[k].id, l = q[k].l, r = q[k].r;
while (i < r) add(w[ ++ i], 1);
while (i > r) add(w[i -- ], -1);
while (j < l) add(w[j ++ ], -1);
while (j > l) add(w[ -- j], 1);
ans[id] = ans1;
}
for (int i = 0; i < m; i ++ ) printf("%lld\n", ans[i]);
return 0;
}
图的遍历
思路
很明显就是判断奇环，如果有奇环，那么从奇环的任何一个点开始，都能到达奇环的所有点，所以我们对每个联通块来考虑即可。
如果某个联通块有奇环，那么我们只需要把所有的联通块连到一起即可，所以答案就是联通块个数减一。
如果不存在奇环，那么我们需要把奇数个联通块连到一起，(相当于一个连通块看成一个点，连奇数环即可，)再连向其他的偶联通块即可。所以答案就是联通块的个数。
代码
注意：不能和之前模板一样，直接return，必须再一个连通块遍历所有点
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#define dbg(a) cout<<#a<<" : "<<a<<endl;
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);
#define PAUSE system("pause")
#define sd(a) scanf("%d",&a)
#define sll(a) scanf("%intd",&a)
#define sdd(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define sddd(a,b,c) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)
#define sf(a) scanf("%lf",&a)
#define sff(a,b) scanf("%lf%lf",&a,&b)
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int color[N];
int cnt; // 连通块的数量
bool flag;
void add(int a, int b){
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
void dfs(int u, int c){ //将u点染成c ,c = 0未染, c = 1染第一种, c = 2染第二种
color[u] = c;
for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
int j = e[i];
if(!color[j]){
dfs(j, 3 - c);
}
else if(color[j] == c) flag = true;
}
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h);
int n, m;
sdd(n, m);
while(m --) {
int a, b;
sdd(a, b);
add(a, b);
add(b, a);
}
cnt = 0;
rep(i, 1, n) {
if(!color[i]) {
cnt ++; // 连通块
dfs(i, 1);
}
}
if(flag) cnt --;
printf("%d\n", cnt);
return 0;
}
计数
思路
隔板法
盒子不允许空的情况:将20个相同的小球放入3个不同的盒子的 方法为
C
20
−
1
3
−
1
C_{20-1}^{3-1}
C20−13−1 (隔板法)即
C
n
−
1
m
−
1
C_{n-1}^{m-1}
Cn−1m−1
盒子允许空的情况: 映射即可。
C
n
+
m
−
1
m
−
1
C_{n+m-1}^{m-1}
Cn+m−1m−1
此题将连续的0的个数即丢失的数当成 小球的个数，而可选的数字当成不同的盒子即可。
代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define sd(x) scanf("%d", &x)
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000010 + 1050;
const int mod = 1000000007;
int fact[N], infact[N];
LL qmi(int a, int b, int p){
LL res = 1;
while(b){
if(b & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
LL C(int a, int b) {
return (LL)fact[a] * infact[a - b] % mod * infact[b] % mod;
}
void init(){
fact[0] = infact[0] = 1;
for(int i = 1; i < N; i ++){
fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}
return;
}
int main() {
int n;
init();
LL ans = 1;
int cnt = 0;
sd(n);
int last = 1000;
rep(i, 1, n) {
int x;
sd(x);
if(x == 0) cnt ++;
else {
int len = last - x + 1;
ans = (LL)ans * C(len + cnt - 1, len - 1) % mod;
last = x;
cnt = 0;
}
}
if(cnt) ans = (LL)ans * C(last - 1 + cnt, last - 1) % mod;
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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