【HDU 1588】 Gauss Fibonacci

本文介绍了一种利用矩阵快速幂技巧解决特定数列求和问题的方法。通过矩阵运算简化了复杂度,实现了高效求解斐波那契数列相关问题。

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【算法】

           要求

           f(g(0)) + f(g(1)) + f(g(2)) + ... + f(g(n-1))

           因为g(i) = k * i + b

           所以原式 = f(b) + f(k+b) + f(2k+b) + .... + f((n-1)k+b)

           令矩阵A = {1,1,0,1}(求斐波那契数的矩阵)

            那么,式子就可以写成A^b + A^(k + b) + A ^ (2k + b) + .... + A ^ ((n - 1)k + b)

            因为矩阵符合乘法分配律,所以可以将A^b提出,式子被写成 :

            A ^ b( E + A ^ k + A ^ 2k + ... + A ^ (n - 1)k ) (其中E为2阶单位阵)

            令矩阵S = A ^ k

            那么式子就被进一步化简为 : A^b( S^0 + S^1 + S^2 + .. + S^(n-1) )

            A^b可以通过矩阵乘法快速幂求出

            而后面的S^0 + S^1 + S ^ 2 + ... S^(n-1)则可以通过二分求解(也就是POJ 3233的方法)

【代码】

         

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,b,k,m;
struct Matrix
{
		long long mat[3][3];		
} A,E,ans,s;

inline Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
		int i,j,k;
		Matrix ans;
		memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
		for (i = 1; i <= 2; i++)
		{
				for (j = 1; j <= 2; j++)
				{
						for (k = 1; k <= 2; k++)
						{
								ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % m;
						}
				}
		}
		return ans;
}
inline Matrix add(Matrix a,Matrix b)
{
		int i,j;
		Matrix ans;
		memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
		for (i = 1; i <= 2; i++)
		{
				for (j = 1; j <= 2; j++)
				{
						ans.mat[i][j] = (a.mat[i][j] + b.mat[i][j]) % m;
				}
		}
		return ans;
}
inline Matrix power(Matrix a,int n)
{
		int i,j;
		Matrix ans,p = a;
		for (i = 1; i <= 2; i++)
		{
				for (j = 1; j <= 2; j++)
				{
						ans.mat[i][j] = (i == j);	
				}	
		}		
		while (n > 0)
		{
				if (n & 1) ans = mul(ans,p);
				p = mul(p,p);
				n >>= 1;
		}
		return ans;
}
inline Matrix solve(Matrix a,int n)
{
		Matrix tmp;
		if (n == 1) return a;
		if (n % 2 == 1) return add(solve(a,n-1),power(a,n));	
		else
		{
				tmp = solve(a,n/2);
				return add(tmp,mul(power(a,n/2),tmp));
		}
}

int main() {
		
		E.mat[1][1] = 1; E.mat[2][2] = 1;
		E.mat[1][2] = E.mat[2][1] = 0;
		while (scanf("%d%d%d%d",&k,&b,&n,&m) != EOF)
		{
				A.mat[1][1] = A.mat[1][2] = A.mat[2][1] = 1;
				A.mat[2][2] = 0;
				s = power(A,k);
				ans = mul(power(A,b),add(E,solve(s,n-1)));
				printf("%lld\n",ans.mat[1][2]);
		}
		
		return 0;
	
}

           

### 使用多种编程语言实现输出斐波那契数列的前四项 以下是几种常见编程语言实现输出斐波那契数列前四项的方法: #### C++ 实现 在C++中可以通过简单的循环来计算并打印斐波那契数列的前几项。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { cout << "Fibonacci数列的前4项如下:" << endl; int a = 1, b = 1; // 初始化前两项 cout << a << " " << b << " "; // 打印前两项 for (int i = 1; i <= 2; ++i) { // 计算并打印后续两项 int nextTerm = a + b; cout << nextTerm << " "; a = b; b = nextTerm; } cout << endl; return 0; } ``` 此代码片段基于引用中的逻辑[^1],简化为仅输出前四项。 --- #### Python 实现 Python 提供了一种简洁的方式来生成斐波那契数列。通过列表推导或其他方法可轻松完成任务。 ```python def fibonacci_four_terms(): terms = [1, 1] # 初始两个值 for _ in range(2): # 添加接下来的两项 terms.append(terms[-1] + terms[-2]) return terms[:4] result = fibonacci_four_terms() print("Fibonacci数列的前4项:", result) ``` 上述代码利用了动态数组的概念,类似于引用中的描述[^2],但调整为了只生成四个数值。 --- #### Java 实现 Java 中可以借助 `ArrayList` 来存储和操作斐波那契序列。 ```java import java.util.ArrayList; public class FibonacciFourTerms { public static void main(String[] args) { ArrayList<Integer> fabList = new ArrayList<>(); fabList.add(1); fabList.add(1); for (int i = 2; i < 4; i++) { fabList.add(fabList.get(i - 1) + fabList.get(i - 2)); } System.out.println("Fibonacci数列的前4项:"); for (Integer num : fabList) { System.out.print(num + " "); } } } ``` 这段代码参考了 Java 的实现方式[^5],并对范围进行了修改以便适应当前需求。 --- #### C 实现 对于更基础的语言如C,则可以直接采用数组或者变量交换的方式处理。 ```c #include <stdio.h> void print_fibonacci_first_four() { int first = 1, second = 1; printf("%d %d ", first, second); // 输出前两项目 for(int i = 3; i <= 4; i++) { // 继续计算剩余部分直到第四项为止 int third = first + second; printf("%d ", third); first = second; second = third; } } int main(){ print_fibonacci_first_four(); return 0; } ``` 该版本遵循传统迭代模式构建结果集,并且保持简单明了结构设计思路来自其他例子[^3]^。 ---
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