Hanoi 与二叉树的中序遍历

Hanoi 与二叉树的中序遍历

Author : eryar@163.com

Key Words : Hanoi , Binary Tree, Traversal

Description : 对比Hanoi的程序与二叉树的中序遍历算法， 可知Hanoi问题即是用二叉树的中序遍历来解决的。

一、 Hanoi 

   汉诺塔（又称河内塔）问题是印度的一个古老的传说。开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个圆的金片，最大的一个在底下，其余一个比一个小，依次叠上去，庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。解答结果请自己运行计算，程序见尾部。面对庞大的数字(移动圆片的次数)18446744073709551615，看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。

图1 Hanoi

后来，这个传说就演变为汉诺塔游戏: 

　　1.有三根杆子A,B,C。A杆上有若干碟子 

　　2.每次移动一块碟子,小的只能叠在大的上面 

　　3.把所有碟子从A杆全部移到C杆上

　　经过研究发现，汉诺塔的破解很简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：

　　如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C

　　此外，汉诺塔问题也是程序设计中的经典递归问题。

　　算法思路：

　　1.如果只有一个金片，则把该金片从源移动到目标棒，结束。

　　2.如果有n个金片，则把前n-1个金片移动到辅助的棒，然后把自己移动到目标棒，最后再把前n-1个移动到目标棒.

　　3.单纯对于有N个金片要挪动的步数求出, 可以使用递推方法,满足递推方程f(i) = f(i - 1) * 2 + 1.

二、二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。

遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

1．遍历方案

　　从二叉树的递归定义可知，一棵非空的二叉树由根结点及左、右子树这三个基本部   

 分组成。因此，在任一给定结点上，可以按某种次序执行三个操作：

　　（1）访问结点本身(N)，

　　（2）遍历该结点的左子树(L)，

　　（3）遍历该结点的右子树(R)。

　　以上三种操作有六种执行次序：NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。

注意：

　　前三种次序与后三种次序对称，故只讨论先左后右的前三种次序。

2．三种遍历的命名

　　根据访问结点操作发生位置命名：

　　① NLR：前序遍历(PreorderTraversal亦称(先序遍历))

　　——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

　　② LNR：中序遍历(InorderTraversal)

　　——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。

　　③ LRN：后序遍历(PostorderTraversal)

　　——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

注意：

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

3. 遍历算法

　　1．中序遍历的递归算法定义：

　　若二叉树非空，则依次执行如下操作：

　　(1)遍历左子树；

　　(2)访问根结点；

　　(3)遍历右子树。

　　2．先序遍历的递归算法定义：

　　若二叉树非空，则依次执行如下操作：

　　(1) 访问根结点；

　　(2) 遍历左子树；

　　(3) 遍历右子树。

　　3．后序遍历得递归算法定义：

　　若二叉树非空，则依次执行如下操作：

　　(1)遍历左子树；

　　(2)遍历右子树；

　　(3)访问根结点。

　　4．中序遍历的算法实现

　　用二叉链表做为存储结构，中序遍历算法可描述为：

　　void InOrder(BinTree T)

　　{ //算法里①~⑥是为了说明执行过程加入的标号

　　① if(T) { // 如果二叉树非空

　　② InOrder(T->lchild)；

　　③ printf("％c"，T->data)； // 访问结点

　　④ InOrder(T->rchild);

　　⑤ }

　　⑥ } // InOrder

三、Hanoi塔程序

/***************************************************************/ * Copyright (c) 2009 eryar All rights reserved. * * * * File : Main.cpp * * Date : 2009-03-28 22:25 * * Author : eryar@163.com * * * * Description: * * Hanoi Tower problem and binary tree Inorder Traversal. * * * /***************************************************************/ #include <iostream> using namespace std; void MoveDisk(char origin, char target); void Hanoi(char origin, char aid, char target, int disk); int main(int argc, char *argv[]) { Hanoi('A', 'B', 'C', 3); return 0; } /* Parameter : * TYPE NAME DESCRIPTION * char [origin] Origin stick * char [aid] Aid stick * char [target] Target stick * * Return : void * Description : Hanoi tower problem. */ void Hanoi(char origin, char aid, char target, int disk) { if (disk == 1) { MoveDisk(origin, target); return ; } Hanoi(origin, target, aid, disk-1); MoveDisk(origin, target); Hanoi(aid, origin, target, disk-1); } // End of Hanoi /* Parameter : * TYPE NAME DESCRIPTION * char [origin] Origin stick * char [target] Target stick * * Return : void * Description : Move disk from origin stick to target stick. */ void MoveDisk(char origin, char target) { cout<<origin<<"->"<<target<<endl; } // End of MoveDisk

对比Hanoi的程序与二叉树的中序遍历算法， 可知Hanoi问题即是用二叉树的中序遍历来解决的。