深度学习中的数学--lecture 1(2)

Introduction:A Non-Rigorous Review of Deep Learning

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本篇文章为 MIT 课程 Mathematical Aspects of Deep Learning 的lecture 1 的学习笔记，没有进行完整的翻译，仅供参考

2.卷积网络(Convolution Network)

卷积网络是有线性算子的网络，有使用“底层网格几何”（underlying grid geometry）的局部卷积算子。

卷积层

举例来说，用 $m\times m$ 的网格结构来表示网络的第 $k$ 层的话，如下图所示

我们定义第 $k+1$ 层的函数 $h_{i,j}^{(k+1)}$ 是由其下面一层的 $2\times2$ 方阵卷积运算，再带入非线性函数 $g$ 求得的：

$$h_{i,j}^{(k+1)}=g(a^{(k)}h_{i,j}^{(k)}+b^{(k)}h_{i+1,j}^{(k)}+c^{(k)}h_{i,j+1}^{(k)}+d^{(k)}h_{i+1,j+1}^{(k)})$$

参数 $a^{(k)},b^{(k)},c^{(k)},d^{(k)}$ 只取决于其所在的层，与具体的方阵坐标 $i,j$ 无关（在视觉领域应用中的必要限制，基本定义并无这一限制）

优点：
- 参数共享
- 函数 $h$ 定义的 局部性 使网络获得了“稀疏性”（sparsity）

池化层（Pooling）

经过卷积操作和 $g$ 函数运算后，得到 grid-indexed 函数 $h_{i,j}^{(k+1)}$ ,我们用其邻近范围内的所有函数的均值或最大值来替代这个函数。

$$\overline{h}_{i,j}^{(k+1)}=\frac{1}{4} (h_{i,j}^{(k+1)}+h_{i+1,j}^{(k+1)}+h_{i,j+1}^{(k+1)}+h_{i+1,j+1}^{(k+1)})$$
这个技巧也可以用来减少维度