【JZOJ4779】鞍点

description

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analysis

• 数学$+DP$

• 设$f[i][j]$表示当前至少有$i$个鞍点、鞍点的值最大为$j$的矩阵数量

• 设添加$x$个权值为$j+1$的鞍点，观察这张图来了解如何转移

• 绿色的部分已经放好了，对右下角的矩阵没有影响

• 放$x$个$j+1$的贡献本身是$C_x^{n-i}{C}_x^{m-i}\cdot x!$

• 对于蓝色的部分，只能放$[0,j]$的数，贡献为$j^{x(n-i)+x(m-i)-x^2-x}$

• 转移方程为$f[i+x][j+1]+=f[i][j]\cdot C_x^{n-i}{C}_x^{m-i}\cdot x!\cdot j^{x(n-i)+x(m-i)-x^2-x}$

• 对于白色的部分，放什么都可以，转移完以后才乘上贡献为$k^{(n-i)(m-i)}$

• 最后答案容斥一下，$ans={\sum }_{i=1}^{min(n,m)}(-1{)}^{i+1}f[i][k]$

• 即$1$个鞍点的答案减去$2$个鞍点的情况，再加上$3$个鞍点的情况……等等

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 2005
#define ll long long
#define reg register ll
#define max(x,y) (x>y?x:y)
#define min(x,y) (x<y?x:y)
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)
#define O3 __attribute__((optimize("-O3")))

using namespace std;

ll f[MAXN][MAXN],c[MAXN][MAXN];
ll fac[MAXN*MAXN],pow[11][MAXN*MAXN];
ll n,m,k,mod,ans,temp=1;

O3 inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
O3 int main()
{
	//freopen("T2.in","r",stdin);
	n=read(),m=read(),k=read(),mod=read();
	c[0][0]=fac[0]=pow[0][0]=1;
	if (n>m)swap(n,m);
	fo(i,1,m)
	{
		c[i][0]=1;
		fo(j,1,m)c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
	}
	fo(i,1,n*m)fac[i]=i*fac[i-1]%mod;
	fo(i,1,k)
	{
		pow[i][0]=1;
		fo(j,1,n*m)pow[i][j]=pow[i][j-1]*i%mod;
	}
	f[0][0]=1;
	fo(i,0,n)
	{
		fo(j,0,k-1)
		{
			if (f[i][j]==0)continue;
			fo(x,0,n-i)
			(f[i+x][j+1]+=f[i][j]*c[n-i][x]%mod*c[m-i][x]%mod*fac[x]%mod*pow[j][x*(n+m-2*i)-x*x-x]%mod)%=mod;
		}
	}
	fo(i,1,n)ans=((ans+temp*f[i][k]%mod*pow[k][(n-i)*(m-i)%mod])+mod)%mod,temp*=-1;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}