求逆序对的两种方法

归并排序

归排求逆序对用到了二分的思想
设当前归并排序讲合并的区间为$[l,r]$
由于归排二分，所以$[l,mid]$和$[mid+1,r]$两段区间都分别已经排好了序
在排序过程中，如果$a[i]>a[j]$，那么$a[i+1]$到$a[mid]$都会大于$a[j]$
即会产生$mid-i+1$个逆序对

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code

O3 inline void msort(ll l,ll r)
{
	if (l==r)return;
	ll mid=(l+r)>>1,i=l,j=mid+1,k=l;
	msort(l,mid),msort(mid+1,r);
	while (i<=mid && j<=r)
	{
		if (a[i]<=a[j])b[k++]=a[i++];
		else b[k++]=a[j++],ans+=mid-i+1;
	}
	while (i<=mid)b[k++]=a[i++];
	while (j<=r)b[k++]=a[j++];
	fo(i,l,r)a[i]=b[i];
}

归排常数小，经常可以代替手打快排

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树状数组

树状数组做法会归排难理解一些
首先对于原数组，需要离散化，尽量不要用快排下标编号因为容易出锅
对于一个数所在位置$x$的插入和查询，我们可以知道在$x$前比这个数小的的数有几个
于是当前插入的数减去$x$位置的答案就是当前位置的逆序对个数
注意插入可正序可逆序，有不同的理解
当然插入和查询完全可以用线段树之类的来实现，但树状数组简单很多

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 500005
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)
#define O3 __attribute__((optimize("-O3")))

using namespace std;

ll a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
ll n,ans;

O3 inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
O3 inline ll lowbit(ll x)
{
	return x&(-x);
}
O3 inline void insert(ll x,ll y)
{
	while (x<=n)c[x]+=y,x+=lowbit(x);
}
O3 inline ll get(ll x)
{
	ll y=0;
	while (x)y+=c[x],x-=lowbit(x);
	return y;
}
O3 inline void init()
{
	sort(b+1,b+n+1),unique(b+1,b+n+1)-b-1;
	fo(i,1,n)a[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
}
O3 int main()
{
	//freopen("readin.txt","r",stdin);
	n=read();
	fo(i,1,n)a[i]=b[i]=read();
	init();
	fo(i,1,n)
	{
		insert(a[i],1);
		ans+=i-get(a[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}