【JZOJ5966】【NOIP2018】保卫王国

description

Z国有n座城市，n-1条双向道路，每条双向道路连接两座城市，且任意两座城市都能通过若干条道路相互到达。
Z国的国防部长小Z要在城市中驻扎军队。驻扎军队需要满足如下几个条件：
①一座城市可以驻扎一支军队，也可以不驻扎军队。
②由道路直接连接的两座城市中至少要有一座城市驻扎军队。
③在城市里驻扎军队会产生花费，在编号为i的城市中驻扎军队的花费是pi。
小Z很快就规划出了一种驻扎军队的方案，使总花费最小。但是国王又给小Z提出了m个要求，每个要求规定了其中两座城市是否驻扎军队。小Z需要针对每个要求逐一给出回答。具体而言，如果国王提出的第j个要求能够满足上述驻扎条件（不需要考虑第j个要求之外的其它要求），则需要给出在此要求前提下驻扎军队的最小开销。如果国王提出的第j个要求无法满足，则需要输出-1(1<=j<=m) 。现在请你来帮助小Z。

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analysis

• 正解倍增+矩乘+树形DP

• 考虑一下$44pts$的树形$DP$，设$f[i][0/1]$表示以$i$为根的子树中，$i$选或不选的最优解，则
  $$f[i][0]=\sum f[son][1]$$$$f[i][1]=\sum min(f[son][0],f[son][1])$$

• 每次把某个$f$赋值为$\infty$，暴力重新$DP$，就可以得到$44pts$的好成绩

• 接着考虑另一个$DP$，设$g[i][0/1]$表示以$i$为根的子树外，$i$选或不选的最优解

• 由于我们已经$DP$出了$f$数组，我们也可以从一个点的父亲来转移$g$，则
  $$g[i][0]=f[i][0]+g[fa][1]-min(f[i][0],f[i][1])$$$$g[i][1]=f[i][1]+min(g[fa][0]-f[i][1],g[fa][1]-min(f[i][0],f[i][1$$