【JZOJ5228】【BZOJ4547】小奇的集合

最新推荐文章于 2025-12-01 17:07:41 发布

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#矩阵乘法 #模拟赛

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矩阵乘法

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该博客介绍了如何利用矩阵乘法解决一个关于可重集合的操作问题，其中每次操作可以加入a+b（a和b已存在于集合中）。通过分析a和b的系数与斐波那契数列的关系，博主提出了一个正解矩乘的方法来求解最大可能的集合和。在某些情况下，由于次大值可能为负，需要转换为正数再进行计算。

description

有一个大小为n的可重集S，小奇每次操作可以加入一个数a+b(a,b均属于S)，求k次操作后它可获得的S的和的最大值。（数据保证这个值为非负数）

analysis

正解矩乘
考虑 $a$ 为最大值、 $b$ 为次大值，那么每次加入的数分别为 $a + b, 2 a + b, 3 a + 2 b, 5 a + 3 b . . .$
所以 $a, b$ 的系数分别就是斐波那契数列，稍微有点不同而已
又知道 $∑i=1na[i]=a[i+2]−1(a[1]=a[2]=1)\sum_{i=1}^na[i]=a[i+2]-1(a[1]=a[2]=1)$ ，所以 $a, b$ 的系数总和可以直接用矩乘求出来
注意次大值可能是负数，就需要不断加上最大值，变成正数后再用上面的方法求解

code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 100005
#define ll long long
#define reg register ll
#define mod 10000007ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)
#define O3 __attribute__((optimize("-O3")))

using namespace std;

ll a[MAXN];
ll n,k,sum;

struct matrix
{
	ll m[2][2];
}c;
matrix A={1,1,1,0};
matrix I={1,0,0,1};

O3 inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
O3 inline bool cmp(ll a,ll b)
{
	return a>b;
}
O3 inline matrix operator*(matrix a,matrix b)
{
	memset(c.m,0,sizeof(c.m));
	fo(i,0,1)fo(j,0,1)fo(k,0,1)
	(c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod)%=mod;
	return c;
}
O3 inline matrix pow(matrix x,ll y)
{
	matrix z=I;
	while (y){if (y&1)z=z*x;x=x*x,y/=2;}
	return z;
}
O3 int main()
{
	n=read(),k=read();
	fo(i,1,n)a[i]=read(),(sum+=a[i])%=mod;
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	while (a[1]>0 && a[2]<0)
	{
		sum+=a[1]+a[2];
		a[2]=a[1]+a[2];
		k--;
	}
	printf("%lld\n",(sum+a[1]*(pow(A,k+2).m[0][0]-2)+a[2]*(pow(A,k+1).m[0][0]-1)+mod)%mod);
	return 0;
}