JZOJsenior1935.【2011集训队出题】单选错位

problem

Description

　　gx和lc去参加noip初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。试卷上共有n道单选题，第i道单选题有ai个选项，这ai个选项编号是1,2,3,…,ai，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。lc采取的策略是每道题目随机写上1-ai的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对道题目。gx则是认认真真地做完了这n道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第i道题目的答案抄到了答题纸上的第i+1道题目的位置上，特别地，第n道题目的答案抄到了第1道题目的位置上。现在gx已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被lc鄙视了。
　　我们假设gx没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。

Input

　　n很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有5个整数参数n, A, B, C, a1，由上交的程序产生数列a。下面给出pascal/C/C++的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：
// for pascal
　　readln(n,A,B,C,q[1]);
　　for i:=2 to n do
　　　　q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
　　for i:=1 to n do
　　　　q[i] := q[i] mod C + 1;
// for C/C++
　　scanf(“%d%d%d%d%d”,&n,&A,&B,&C,a+1);
　　for (int i=2;i<=n;i++)
　　　　a[i] = ((long long)a[i-1] * A + B) % 100000001;
　　for (int i=1;i<=n;i++)
　　　　a[i] = a[i] % C + 1;
　　选手可以通过以上的程序语句得到n和数列a（a的元素类型是32位整数），n和a的含义见题目描述。

Output

　　输出一个实数，表示gx期望做对的题目个数，保留三位小数。

Sample Input

3 2 0 4 1

Sample Output

1.167

Data Constraint

Hint

【样例说明】
　　a[] = {2,3,1}
　　正确答案 gx的答案 做对题目 出现概率
　　{1,1,1} {1,1,1} 3 1/6
　　{1,2,1} {1,1,2} 1 1/6
　　{1,3,1} {1,1,3} 1 1/6
　　{2,1,1} {1,2,1} 1 1/6
　　{2,2,1} {1,2,2} 1 1/6
　　{2,3,1} {1,2,3} 0 1/6
　　共有6种情况，每种情况出现的概率是1/6，gx期望做对(3+1+1+1+1+0)/6 = 7/6题。（相比之下，lc随机就能期望做对11/6题）
【数据范围】
　　对于30%的数据 n≤10, C≤10
　　对于80%的数据 n≤10000, C≤10
　　对于90%的数据 n≤500000, C≤100000000
　　对于100%的数据 2≤n≤10000000, 0≤A,B,C,a1≤100000000
　　

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analysis

其实就是一道傻逼题目

• 分类讨论

• 若$a[i]≤a[i+1]$，那么$a[i+1]$是包含$a[i]$的答案的

• 能匹配的上的期望为$1\over a[i+1]$，此时对答案的贡献为$1\over a[i+1]$

• 若$a[i]>a[i+1]$，那么$a[i]$和$a[i+1]$匹配的上的期望为$a[i+1]\over a[i]×a[i+1]$

• 期望也就是$1 \over a[i]$，贡献也为这个

• 所以$ans=\sum^n_{i=1}{1\over {max(a[i],a[i+1])}}$

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code

#include<stdio.h>
#define MAXN 10000001

using namespace std;

long long q[MAXN];
long long a,b,c;
double ans;
int n;

long long max(long long x,long long y)
{
    return x>y?x:y; 
}

int main()
{
    scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c,&q[1]);
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        q[i]=((long long)q[i-1]*a+b)%100000001;
    }   
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {   
        q[i]=q[i]%c+1;
    }
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        ans+=1/((double)max(q[i],q[i+1]));
    }
    printf("%.3lf",ans+1.0/max(q[n],q[1]));
    return 0;
}