JZOJsenior3488.【NOIP2013模拟联考11】矩形(rect)

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#模拟赛 #线段树

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本文介绍了一个经典的平面几何问题——计算由一系列沟壑形成的矩形数量。提供了两种解决方案：一种是适用于小规模数据集的水法，另一种是适用于大规模数据集的线段树方法。

problem

Description

因为对polo忍无可忍， dzf使用圣剑在地上划出了许多纵横交错的沟壑来泄愤。这些沟壑都严格与X轴平行或垂直。

polo嘲笑了dzf无聊的行为，然后做了一件更加无聊的事。他蹲下来数这些沟壑的条数。数着数着，polo意识到一个问题，那就是因为圣剑的威力太大，划出的沟壑太多，地面就会塌陷。而如果两条水平的沟壑和两条垂直的沟壑相交组成了一个矩形，那么塌陷的危险就会进一步增加。现在polo已经数了n条沟壑，他想知道这些沟壑组成了多少个矩形。

Input

第一行一个数n,接下来每行4个数x1,y1,x2,y2，表示沟壑的两个端点(x1,y1),(x2,y2)

Output

一个数，组成的矩形个数。

Sample Input

输入1：

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 1 -1

1 1 0 1

输入2：

1 0 4 0

2 1 2 0

0 0 0 3

2 2 2 3

3 3 3 -1

0 3 4 3

4 1 -1 1

3 2 -1 2

Sample Output

输出1：

输出2：

Data Constraint

对于30%的数据，1<=n<=100

对于60%的数据，1<=n<=600

对于100%的数据，1<=n<=2000,坐标绝对值小于10^9，任意两条与X轴水平的沟壑之间没有交点，任意两条与X轴垂直的沟壑没有交点。

analysis

很经典的一道求平面内矩形数量的题目
~~但是我要插入一点东西~~

奇怪的东西：水法？

40%的数据， $O(n^4)$ 枚举两条水平和两条垂直线段，~~傻子都会~~
60%的数据，也很好想：枚举两条垂直的线段，枚举一条水平的线段
设都与两条垂直线段相交的水平线段的数量为 $k$ ，那么明显能构成 $C(k,2)={k(k-1)\over 2}$ 个矩形
结果一堆人用 $O(n^3)$ 的水法切掉了……切掉了……
下面来看看这奇妙的水法代码

水法code

#include<cstdio>

struct rec{int u,v,x,y;
}a[2001],b[2001];

bool pd[2001][2001];
int n,u,v,x,y,o,p,f,w[2001][2001],c[2001];

__attribute__((optimize("-O3")))
bool in(int l,int x,int r){return l<=x&&x<=r;}

__attribute__((optimize("-O3")))
main(){
    scanf("%d",&n);

    int i;
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&x,&y);
        if(y==v){//V == Y  YZ
            if(u>x)f=u,u=x,x=f;
            a[++o]=rec{u,v,x,y};
        }else{
            if(v>y)f=v,v=y,y=f;
            b[++p]=rec{u,v,x,y};//U == X  XZ
        }
    }

    int j,k,s=0,cnt,t0,t1;
    for(i=1;i<=o;i++)
        for(k=1;k<=p;k++)
            if(in(a[i].u,b[k].u,a[i].x)&&in(b[k].v,a[i].v,b[k].y)){
                pd[i][k]=1;
                w[i][++c[i]]=k;
            }

    for(i=1;i<o;i++)
        for(j=i+1;j<=o;j++){
            cnt=0;

            t0=i,t1=j;
            if(c[i]>c[j])t1=i,t0=j;

            for(k=1;k<=c[t0];k++)
                if(pd[t1][w[t0][k]])cnt++;
            s+=cnt*(cnt-1)/2;
        }

    printf("%d",s);
}

~~哪位大爷看懂了，记得在评论区和我说一声啊~~

来点正常的吧

正解乃线段树
首先枚举一条垂直线段，把所有和这条线段相交的水平线段加进线段树
怎么加进线段树呢？把水平线段的 $y$ 坐标离散化，从小到大排个序
把第 $i$ 号打上一个标记，表示第 $i$ 条水平线段与当前垂直线段相交
然后我们本来要用一个 $O(n)$ 循环来找 $k$ 的，现在用线段树的区间求和， $O(log_2n)$ 求解 $k$
总时间复杂度 $O(n^2log_2n)$
虽说 $n≤2000$ ，但分开枚举水平垂直线段，时间达不到那么高
所以线段树能在时间范围内跑出解

线段树code

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 2001

using namespace std;

int f[5*MAXN],li[5*MAXN],tree[5*MAXN];
int n,x,n1,n2,len,tot;
long long ans;

struct information
{
    int x1,y1,x2,y2;
}a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];

bool cmp(information a,information b)
{
    return a.x1<b.x1; 
}

bool cmp1(information a,information b)
{
    return a.x2<b.x2;
}

int query(int t,int l,int r,int x,int y)
{
    if(x<=l && r<=y) 
    {
        return tree[t];
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(y<=mid) 
    {
        return query(2*t,l,mid,x,y);
    }
    else if(x>mid) 
    {
        return query(2*t+1,mid+1,r,x,y);
    }
    else 
    {
        return query(2*t,l,mid,x,mid)+query(2*t+1,mid+1,r,mid+1,y);
    }
}

void change(int t,int l,int r,int x,int y)
{
    if(l==r) 
    {
        tree[t]+=y; 
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid) 
    {
        change(2*t,l,mid,x,y);  
    }
    else 
    {
        change(2*t+1,mid+1,r,x,y);
    }
    tree[t]=tree[2*t]+tree[2*t+1];
}

int search(int t,int l,int r)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if(f[mid]==t) 
    {
        return li[mid];
    }
    if(t>f[mid]) 
    {
        return search(t,mid+1,r); 
    }
    else 
    {
        search(t,l,mid-1);
    }
}

void init() 
{
    for(int i=1;i<=n1;i++) 
    {
        f[++tot]=a[i].y1;
        f[++tot]=a[i].y2;
    }
    for(int i=1;i<=n2;i++) 
    {
        f[++tot]=b[i].y1;
        f[++tot]=b[i].y2;
    }
    sort(f+1,f+tot+1);
    x=li[1]=1;
    for(int i=2;i<=tot;i++) 
    {
        if(f[i]!=f[i-1])x++;
        li[i]=x;
    }
    for(int i=1;i<=n1;i++)
    {
        a[i].y1=search(a[i].y1,1,tot);
        a[i].y2=search(a[i].y2,1,tot);
    }
    for(int i=1;i<=n2;i++) 
    {
        b[i].y1=search(b[i].y1,1,tot);
        b[i].y2=search(b[i].y2,1,tot);
    }
}

int find(int t,int l,int r)
{
    if(l>r)return l;
    int mid=(l+r)/2;
    if(t>c[mid].x2) 
    {
        return find(t,mid+1,r);
    }
    else 
    {
        return find(t,l,mid-1);
    }
}

long long clam(long long x)
{
    return x*(x-1)/2;
}

int main()
{
    //freopen("readin.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        if(x1==x2)
        {
            a[++n1]={x1,y1,x2,y2};
            if(a[n1].y1>a[n1].y2)swap(a[n1].y1,a[n1].y2);
        }
        else
        {
            b[++n2]={x1,y1,x2,y2};
            if(b[n2].x1>b[n2].x2)swap(b[n2].x1,b[n2].x2);
        }
    }
    sort(a+1,a+n1+1,cmp);
    init(); 
    for(int i=1;i<=n1;i++) 
    {
        len=0; 
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        for(int j=1;j<=n2;j++) 
        if(a[i].y1<=b[j].y1 && b[j].y1<=a[i].y2 && b[j].x1<=a[i].x1 && a[i].x1<=b[j].x2)  
        {
            c[++len]={b[j].x1,b[j].y1,b[j].x2,b[j].y2};
            change(1,1,x,c[len].y1,1); 
        }
        sort(c+1,c+len+1,cmp1); 
        int last=1; 
        for(int j=i+1;j<=n1;j++) 
        if(a[j].x1>a[i].x1) 
        {
            int t=find(a[j].x1,last,len); 
            for(int k=last;k<t;k++)
            {
                change(1,1,x,c[k].y1,-1); 
            }
            last=t;
            long long s=0;
            int up=min(a[i].y2,a[j].y2),down=max(a[i].y1,a[j].y1);
            if(down<=up)
            {
                s=query(1,1,x,down,up); 
            }
            ans+=clam(s); 
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}