JZOJsenior3485.【NOIP2013模拟联考10】独立集(bubble)

最新推荐文章于 2022-03-19 20:50:34 发布

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博客讲述了如何将冒泡排序与独立集问题相结合，解析了如何从冒泡排序中生成无向图并找到最大独立集。通过手推分析，发现求解最大独立集实际上等同于求最长不下降子序列。博客提供了两部分解答，一是求最大独立集的大小，二是找出一定包含在最大独立集中的点。解决方案包括O(n log n)的时间复杂度算法来解决这个问题，并给出了第二问的额外策略，即从后往前再做一次最长下降子序列以找到交集。

Description

有一天，一个名叫顺旺基的程序员从石头里诞生了。又有一天，他学会了冒泡排序和独立集。在一个图里，独立集就是一个点集，满足任意两个点之间没有边。于是他就想把这两个东西结合在一起。众所周知，独立集是需要一个图的。那么顺旺基同学创造了一个算法，从冒泡排序中产生一个无向图。

这个算法不标准的伪代码如下：

procedure bubblesortgraph(n, a[]) ：

                     /*输入：点数n，1到n的全排列a。

                       输出：一个点数为n的无向图G。*/

                  创建一个有n个点，0条边的无向图G。

                   repeat

                        swapped = false

                        for i 从 1 到 n-1 ：

                              if a[i] > a[i + 1] ：

                                    在G中连接点a[i]和点a[i + 1]

                                    交换a[i]和a[i + 1]

                                    swapped = true

                   until not swapped

                   输出图G。

                    //结束。

那么我们要算出这个无向图G最大独立集的大小。但是事情不止于此。顺旺基同学有时候心情会不爽，这个时候他就会要求你再回答多一个问题：最大独立集可能不是唯一的，但有些点是一定要选的，问哪些点一定会在最大独立集里。今天恰好他不爽，被他问到的同学就求助于你了。

Input

两行。第一行为N，第二行为1到N的一个全排列。

Output

两行。第一行输出最大独立集的大小，第二行从小到大输出一定在最大独立集的点的编号(输入时的序号)。

Sample Input

3 1 2

Sample Output

2 3

Data Constraint

30%的数据满足 N<=16

60%的数据满足 N<=1,000

100%的数据满足 N<=100,000

思路：

手推5mins左右即可发现，对于两个点i ＜ j若a[i]<=a[j]则i和j可以在同一个独立集
why？
只有在最长不下降子序列中的元素，才能保证两两不连边，所以选最大独立集实际就是求最长不下降子序列的元素而已
所以这题是要求最长不下降子序列（什么冒泡排序都是废话）

如果只是第一问，那么一个nlogn的最长不下降子序列就撸过去了
第二问怎么解决？
更好想了，只需从后往前再做一次最长下降子序列，取两个子序列的交集就可以了

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXN 100001
#define max(x,y) (x>y)?(x):(y)
#define fo(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define fd(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)

using namespace std;

int a[MAXN],b[MAXN],t[MAXN];
int f[MAXN][2];
int n,x,y;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    fo(i,1,n)
    {
        x=lower_bound(t,t+y+1,a[i])-t;
        y=max(x,y);
        f[i][0]=x; 
        t[x]=a[i]; 
    }
    t[0]=-1000000000,y=0;
    fd(i,n,1)
    {
        x=lower_bound(t,t+y+1,-a[i])-t; 
        y=max(x,y);
        f[i][1]=x; 
        t[x]=-a[i];
    }
    printf("%d\n",y);
    fo(i,1,n)
    {
        if(f[i][0]+f[i][1]==y+1)b[f[i][0]]++; 
    }
    fo(i,1,n)
    {
        if(f[i][0]+f[i][1]==y+1 && b[f[i][0]]==1)
        {
            printf("%d ",i);
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}