leetcode动态规划之排列与组合

ps:题目来源于leetcode

排列 vs组合

组合总和 Ⅳ VS 零钱兑换 II

首先这一对非常有代表性，引出了两个非常常见且易搞混的概念，排列与组合。

我们假设组合是一组数的集合，但是该集合中数的顺序不做要求，而排列即使集合中的数相同但排序不同就算不同的排列（排列是需要考虑顺序的）。

在其他方面可以说这两题一模一样，可以类比，比如目标整数类比于总金额，不同整数组成的数组类比于不同面值的硬币。用数组凑目标整数可以理解为用硬币凑金额。

组合总和 Ⅳ

int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        int n=nums.size();
        vector<int> dp(target+1, 0);
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=target;i++){
            for(auto& num:nums){
                if(i>=num && dp[i-num]<INT_MAX-dp[i]){
                    dp[i]+=dp[i-num];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }

由于排列要考虑顺序，所以选择的数组在内层循环。

零钱兑换 II

int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount+1, 0);
        //初始化
        //当不选取任何硬币时，金额之和才为0，因此只有 1种硬币组合。
        dp[0]=1;
        int n=coins.size();
        for(auto& coin:coins){
            for(int j=coin;j<=amount;j++){
                dp[j]+=dp[j-coin];
            }
        }
        return dp[amount];
    }

由于是组合不考虑顺序，所以数组放在外层循环。

不同点：

其实零钱兑换 II属于完全背包问题，把零钱数组类比于物品价值或体积数组，所以放在外层循环是比较好理解的。现在就是着重分析为什么组合总和 Ⅳ是放在内层循环。

这里我们需要引申一题基础题爬楼梯

int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n+1,0);
        //初始化dp
        dp[0]=1,dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }

题解如上：该题dp[i]表示爬上i层楼梯的方法数，由于一次只能一步或者两步，所以状态转移方程为dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]。

那么我仔细分析一下，这题爬的楼梯层数可以类比为组合总和 Ⅳ的目标整数target，一步或者两步可以类比为组合总和 Ⅳ的由1和2组成的数组[1, 2]。并且这题爬楼的方式数也考虑顺序，比如你先走一步再走两步明显和先走两步再走一步不一样，所以说和组合总和 Ⅳ这题本质一样。

如果还觉得不像看看我下面的类比写法

组合总和 Ⅳ：dp[i]+=dp[i-num]
爬楼梯：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2] => dp[i]+=dp[i-1] dp[i]+=dp[i-2]

这两状态转移方程一模一样，唯一不同就是组合总和 Ⅳ给的数组nums不是固定的，而爬楼梯相当于给了你固定只有1和2的nums数组。比如我改造代码如下书写：

int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n+1,0);
        //包含1与2的nums数组
        vector<int> nums{1,2};
        //初始化dp
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(auto& num:nums){
                if(i>=num){
                    dp[i]+=dp[i-num];
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }

我这样写之后，发现组合总和 Ⅳ与爬楼梯这题代码不能说很像，只能说一模一样。一个是题目给的可变nums，另一个是题目固定死的nums。

所以说nums在内循环，本质只是计算

dp[i]=dp[i-nums[0]]+dp[i-nums[1]]+dp[i-nums[2]]+dp[i-nums[3]]+······罢了，没有什么特别之处。

类比爬楼梯的计算dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]。