动态规划与排列组合

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#algorithm #优化 #联想 #算法 #网络 #c

本文探讨了动态规划（DP）的解题思想，包括通过问题切分、分类讨论和状态建立来寻找子问题的方法。作者指出，DP问题的可行解通常表现为排列组合形式，子问题是组合复杂性的子排列组合，且子排列组合的数目通常是多项式的。通过缓存重复子问题的解，可以将组合复杂性问题优化为多项式复杂度。文章提出了一种通用的解题方案：寻找形式相同的子排列组合，并通过讨论不确定元素来逐步构建子问题。

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动态规划与排列组合

By 刘未鹏(pongba)

C++的罗浮宫(http://blog.youkuaiyun.com/pongba)

TopLanguage(http://groups.google.com/group/pongba)

 

像所有的新手一样，对一种算法思想的理解需要经历从肤浅（流于表面形式）到逐渐触摸到本质的过程。为什么说"逐渐"触摸到本质，是因为很多时候你并不确定一个解释是不是最本质的，有时候会有好几个等价的解释，各自在不同的场景下具有启发。

比如对动态规划（DP）的理解，一开始我理解为"递推"，但实际上这是最肤浅的理解，对于如何在特定的问题中找到递推关系毫无帮助和启发。换言之，这只是一个描述性的总结，而不是一个建设性的总结，不含方法论。

做（看）了一些题目之后我开始总结关于"How"的方法，怎样寻找到递推关系（递推关系蕴含着子问题）。得到一个简单的观察，如果一个问题里面含有n这个变量，考虑把n变成n-1的情况

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动态规划与回溯算法融合【高效解决组合、排列与子集问题】
一键难忘的博客
09-13 2841
动态规划是一种将复杂问题分解为更小子问题的方法，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。动态规划与回溯算法的结合在解决复杂问题中具有强大的优势。通过结合动态规划的记忆化技巧和回溯算法的搜索能力，可以高效地解决子集、排列、组合等问题，并在更复杂的高级问题中发挥重要作用。在实际应用中，我们可以根据问题的具体特点，灵活运用各种优化方法，以达到最佳的解决效果。未来，随着算法研究的不断深入，动态规划与回溯算法的结合将继续在更多领域中发挥重要作用。
经典 算法思想 穷举法 高精度 动态规划 回溯 贪心 排列组合 排序
11-29
穷举法 高精度 动态规划 回溯 贪心 排列组合 排序
动态规划求组合，排列
知行合一
10-20 894
首先组合则是不讲究顺序 {2.2.3}和 {2.3.2}是同一个组合。 而排列是讲究顺序的 {2.2.3}和{2.3.2}是俩个不同得排列。 在动态规划中我们求组合或者排列 dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[i]种方法 有哪些来源可以推出dp[j]呢？ 不考虑nums[i]的情况下，填满容量为j - nums[i]的背包，有dp[j - nums[i]]种方法。 那么只要搞到nums[i]的话，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。 举一个例子,n.
62. 不同路径之动态规划，排序组合
永远积极向上、永远热泪盈眶、永远豪情满怀、永远坦坦荡荡
12-10 672
目录一， 62. 不同路径二， 解题思路1， 动态规划2，排列组合公式三， 解题程序四， 63. 不同路径 II五， 解题思路六， 解题程序七， 总结 一， 62. 不同路径 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。 问总共有多少条不同的路径？ 示例 1： 输入：m = 3, n = 7 输出：28 示例 2： 输入：m = 3, n = 2 输出：3
AC解 - 用动态规划解决一道排列组合计数问题（序关系计算）
ljsspace的专栏
05-26 3911
AC解 - 用动态规划解决一道排列组合计数问题（序关系计算） 原题如下：http://acm.nankai.edu.cn/problem.php?problem=1134 [同时请参考网友pandm发的帖子：http://topic.youkuaiyun.com/u/20110525/01/adf4d0b0- 2b8e-4c0a-b8da-07b27f1711cc.html] There are 13 possible orderings for three numbers, if we sort them wi
动态规划 之 排列与组合问题
牛牛博士博客
02-15 184
动态规划 之 排列与组合问题
[算法][动态规划]计算组合数和排列数
身披白袍的博客
11-10 2885
计算组合数和排列数的一些技巧
排列组合计算器下载 排列组合计算器 v2.0
10-28
在计算机科学中，排列组合问题常见于算法设计，如回溯法、动态规划、贪心策略等。它们常用于解决实际问题，如任务调度、网络路由、编码设计等。掌握排列组合的计算对于编程竞赛、数据结构和算法学习至关重要。 此外...
JD 1552：座位问题
03-11 1247
题目描述： 计算机学院的男生和女生共n个人要坐成一排玩游戏，因为计算机的女生都非常害羞，男生又很主动，所以活动的组织者要求在任何时候，一个女生的左边或者右边至少有一个女生，即每个女生均不会只与男生相邻。现在活动的组织者想知道，共有多少种可选的座位方案。 例如当n为4时，共有 女女女女, 女女女男, 男女女女, 女女男男, 男女女男, 男男女女, 男男男男 7种。
牛客 Bang! Bang!（动态规划）
Michael是个半路程序员
12-04 532
文章目录1. 题目2. 解题 1. 题目 链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9715/C 来源：牛客网 音游狂热爱好者牛牛接到了一个新的任务，那就是给一张乐谱设计重音符。每当玩家敲击重音符的时候就会发出"bang"的美妙声音!! 每一张乐谱都有n个音符从左到右一字排开，现在牛牛的任务就是选出其中m个音符将其标记为重音符，同时任意两个重音符之间都必须隔着至少k个音符。 一个有意思的问题诞生了，请求出这样合法的设计方案种数，并输出答案对1000000007取模的结果。
51Nod1634 刚体图 动态规划 容斥原理 排列组合
weixin_30394981的博客
08-15 205
原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1634.html 题目传送门 - 51Nod1634 题意 基准时间限制：1秒 空间限制：131072KB 分值:640难度：8级算法题 计算机科学中，图可以看做是点集和边集所组成的二元组。 通过给每个点设置一个平面坐标，图可以镶嵌在欧几里得平面中。 ...
不同路径 | leetcode 62 | 动态规划 | 排列组合
m0_38051901的博客
09-29 345
题目 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。 问总共有多少条不同的路径？ 例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？ 示例1: 输入: m = 3, n = 2 输出: 3 示例2: 输入: m = 7, n = 3 输出: 28 来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/pr..
[动态规划] SEUOJ103 排列组合
weixin_30332241的博客
07-02 221
初始有一张n个结点没有边的空图,有m次加边或减边的操作,对于每一次操作完成后,求出选择k(k=1,2,...,n/2)条无公共端点的边的方案数(对于两点间的重边,计为不同的方案). n<=10 m<=3e5 题目链接: https://oj.seucpc.club/problem/103 解法 首先分析一下加减边的影响.设f~k~(G)表示在G这张图里选取k条边的方案数.那么有\[...
动态规划问题总结
weixin_45974277的博客
10-11 1281
动态规划问题总结
图文并茂详尽剖析圆排列问题
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走过，路过，别错过的博客
08-07 1万+
 参考资料 https://blog.youkuaiyun.com/liufeng_king/article/details/8890603 https://blog.youkuaiyun.com/qq_32400847/article/details/51474105 https://blog.youkuaiyun.com/yzmck/article/details/4302554 原理解释的很赞 http://www.d...
c++动态规划类算法编程汇总(二)全排列| O(n)排序 | manacher法 |滑窗|最长回文串
祥瑞的技术博客
09-01 1073
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶...
第二章、动态规划算法(2.7.1-2.7.1.3)------约束条件下的排列组合问题(上)
Python基础详解教程，让编程变得简单！
02-07 1304
文中主要讲述动态规划算法在约束条件下的排列组合问题的应用，主要包括K数之和、两数之和、三数之和、四数之和、不限个数之和的动态规划求解和递归求解。
62. 不同路径——动态规划/排列组合
weixin_45907832的博客
01-27 579
1.题目 62. 不同路径 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。 问总共有多少条不同的路径？ 示例 1： 输入：m = 3, n = 7 输出：28 示例 2： 输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向
动态规划求解排列组合c++
最新发布
03-17
<think>好的，用户想用C++通过动态规划解决排列组合问题。首先，我需要回顾动态规划的基本概念，以及它在排列组合中的应用场景。动态规划通常用于解决有重叠子问题和最优子结构的问题，排列组合可能涉及计数或生成所有可能的排列组合，这时候动态规划能有效避免重复计算。 接下来，我应该考虑用户可能的实际需求。排列组合问题在算法题中很常见，比如生成所有子集、计算排列数等。用户可能遇到了类似的问题，需要具体的代码示例和思路解析。根据提供的引用，特别是引用[4]提到了LeetCode题解，可能用户正在准备算法面试，需要实用的代码示例。 然后，我需要确定动态规划在排列组合中的具体应用。例如，计算组合数C(n,k)可以使用动态规划，因为C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，这符合动态规划的状态转移方程。同样，生成所有排列可能需要记忆化已生成的子排列，避免重复计算。 接下来，我需要确保提供的代码示例正确且符合C++标准。例如，组合数的动态规划实现可以通过二维数组存储中间结果。而生成全排列时，虽然通常用回溯法，但动态规划可以通过逐步构建排列来实现，比如先生成n-1个元素的所有排列，再插入第n个元素到各个位置。 另外，需要考虑用户可能的误区，比如混淆排列与组合的动态规划解法，或者处理大数时的溢出问题。在代码示例中加入模运算处理溢出是一个好做法，同时解释清楚每种方法的适用场景。 最后，根据用户提供的引用，引用[1]中的removeElement函数可能与数组操作相关，但和排列组合的直接联系不大，不过数组操作技巧可能在动态规划实现中有用。需要确保回答结构清晰，分步骤解释，并提供相关问题帮助用户深入学习。</think>### 动态规划解决排列组合问题 #### 1. 基本概念 排列组合的动态规划解法通常基于**状态转移方程**，将问题分解为更小的子问题。例如： - **组合数** $C(n,k)$ 的计算公式为： $$C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)$$ 这可以通过二维数组存储中间结果来实现[^4]。 - **排列数** $P(n,k)$ 的计算公式为： $$P(n,k) = n \times P(n-1,k-1)$$ #### 2. 组合数计算示例 ```cpp #include <vector> using namespace std; int combinations(int n, int k) { vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(k + 1, 0)); for (int i = 0; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= min(i, k); j++) { if (j == 0 || j == i) dp[i][j] = 1; else dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]; } } return dp[n][k]; } // 示例调用：combinations(5,2) 返回10 ``` #### 3. 全排列生成（动态规划思想） 虽然全排列通常用回溯法实现，但可以通过动态规划逐步构建： ```cpp vector<vector<int>> generatePermutations(int n) { vector<vector<int>> result; result.push_back({1}); // 初始状态 for (int i = 2; i <= n; i++) { vector<vector<int>> new_perms; for (auto &perm : result) { for (int j = 0; j <= perm.size(); j++) { vector<int> new_perm = perm; new_perm.insert(new_perm.begin() + j, i); new_perms.push_back(new_perm); } } result = new_perms; } return result; } // 示例：generatePermutations(3) 生成6种排列 ``` #### 4. 优化技巧 1. **空间优化**：组合数计算可使用一维数组滚动更新 2. **大数处理**：添加模运算（如 $10^9+7$） 3. **记忆化存储**：复用已计算的中间结果 ```cpp // 优化后的组合数计算（空间复杂度O(k)） int combinations_optimized(int n, int k) { vector<int> dp(k + 1, 0); dp[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = min(i, k); j > 0; j--) { dp[j] = dp[j] + dp[j-1]; } } return dp[k]; } ``` #### 5. 复杂度分析 | 问题类型 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | |----------------|----------------|---------------| | 组合数计算 | $O(nk)$ | $O(k)$ | | 全排列生成 | $O(n! \cdot n)$| $O(n!)$ |
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