Wannafly挑战赛18

最新推荐文章于 2022-10-13 16:29:59 发布

elijahqi

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CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数学动态规划矩阵乘法概率与期望

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/elijahqi/article/details/80781102

动态规划同时被 3 个专栏收录

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本文详细解析了ACM竞赛中的四道题目，包括序列发现、随机数概率计算、全局距离计算及路径规划问题。每道题目都提供了清晰的思路说明与代码实现，适合算法初学者及竞赛选手参考。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

比赛地址：https://www.nowcoder.com/acm/contest/129#question
BLOG：http://www.elijahqi.win/archives/3836
A.序列发现0.5和-2是一对共同出现偶数次即可抵消影响 1是凑数的

于是暴力dp dp[i][j][k]前i个位置选了j个0.5 k个-2的方案

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e3+10;
const int mod=1e9+7;
int dp[2][N][N],n;
inline int inc(int x,int v){
    return x+v>=mod?x+v-mod:x+v;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    dp[0][0][0]=1;int pre=0,now=1;
    for (int i=0;i<n-1;++i){
        memset(dp[now],0,sizeof(dp[now]));
        for (int j=0;j<=i;++j){
            for (int k=0;k<=i-j;++k){
                dp[now][j][k]=inc(dp[now][j][k],dp[pre][j][k]);
                dp[now][j+1][k]=inc(dp[now][j+1][k],dp[pre][j][k]);
                dp[now][j][k+1]=inc(dp[now][j][k+1],dp[pre][j][k]);
            }
        }pre^=1;now^=1;
    }int ans=0;
    for (int i=0;i*4<=n-1;++i)ans=inc(ans,dp[pre][i<<1][i<<1]);printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

实际上组合数学也可以搞就枚举一下这个偶数到底是多少然后分别钦定一下-2和0.5的位置即可
参照大爷代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 1010
#define mod 1000000007
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,C[N][N],ans=0;
inline void inc(int &x,int y){x+=y;x%=mod;}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read()-1;
    for(int i=0;i<=n;++i) C[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=i;++j)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    for(int i=0;i*4<=n;++i)
        inc(ans,(ll)C[n][2*i]*C[n-2*i][2*i]%mod);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

B.随机数

设f[i]表示前i个数有奇数个1的概率，则

f[i+1]=f[i]∗(1−p)+(1−f[i])∗pf[i+1]=f[i]∗(1−p)+(1−f[i])∗p
f[i+1]=(1−2p)f[i]+pf[i+1]=(1−2p)f[i]+p

然后十进制矩阵快速幂搞掉即可每次倍增十次

就从比如10^10变成10^100

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+10;
inline int ksm(ll b,int t){
    static ll tmp;
    for (tmp=1;t;b=b*b%mod,t>>=1) if (t&1) tmp=tmp*b%mod;return tmp;
}
int a;char s[N];
struct matrix{
    int f[3][3];
}tr,ans;
inline int inc(int x,int v){return x+v>=mod?x+v-mod:x+v;}
inline matrix multiply(const matrix &a,const matrix &b){
    matrix c;memset(c.f,0,sizeof(c.f));
    for (int i=1;i<=2;++i){
        for (int j=1;j<=2;++j){
            for (int k=1;k<=2;++k){
                c.f[i][j]=inc(c.f[i][j],(ll)a.f[i][k]*b.f[k][j]%mod);
            }
        }
    }return c;
}
inline matrix ksm(matrix b,int t){
    matrix res;memset(res.f,0,sizeof(res.f));res.f[1][1]=res.f[2][2]=1;
    for (;t;b=multiply(b,b),t>>=1) if (t&1) res=multiply(res,b);return res;
}
int main(){
    freopen("b.in","r",stdin);
    scanf("%d",&a);
    scanf("%s",s+1);
    int inva=1ll*a*ksm(10000,mod-2)%mod;
    int invb=1-inva+mod;invb%=mod;
    tr.f[1][1]=invb;tr.f[1][2]=inva;
    tr.f[2][1]=inva;tr.f[2][2]=invb;
    int n=strlen(s+1);ans.f[1][1]=ans.f[2][2]=1;
    for (int i=n;i;--i){
        int p=s[i]-'0';matrix tmp=tr;
        tmp=ksm(tmp,p);
        tr=ksm(tr,10);ans=multiply(ans,tmp);
    }printf("%d\n",ans.f[1][2]);
    return 0;
}

c求全局到某个点距离即可曼哈顿距离其实可以针对每个维度分开维护

菜鸡elijahqi代码写复杂了

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2200;
const int mod=1e9+7;
char s[N][N];
int tot,n,m;
int prex[N],prey[N],sufx[N],sufy[N];
int nprex[N],nprey[N],nsufx[N],nsufy[N],inv;
struct node{
    int x,y;
}pt[N*N];
inline int ksm(ll b,int t){
    static ll tmp;
    for (tmp=1;t;b=b*b%mod,t>>=1) if (t&1) tmp=tmp*b%mod;return tmp;
}
inline bool cmpx(const node &a,const node &b){
    return a.x<b.x;
}
inline bool cmpy(const node &a,const node &b){
    return a.y<b.y;
}
inline int inc(int x,int v){
    return x+v>=mod?x+v-mod:x+v;
}
inline int dec(int x,int v){
    return x-v<0?x-v+mod:x-v;
}
inline int calc(int x,int y){
    int sum=0;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        for (int j=1;j<=m;++j) if(s[i][j]=='1') sum=inc(sum,abs(x-i)+abs(y-j));
    }return sum;
}
inline int gao(int x,int y){
    int sum=0;sum=inc(sum,dec(1ll*x*nprex[x]%mod,prex[x]));
    sum=inc(sum,dec(1ll*(n-x)*nsufx[x]%mod,sufx[x]));
    sum=inc(sum,dec(1ll*y*nprey[y]%mod,prey[y]));
    sum=inc(sum,dec(1ll*(m-y)*nsufy[y]%mod,sufy[y]));
    //printf("%d\n",sum);printf("%d\n",calc(x,y));
    //sum=calc(x,y);
    sum=(ll)sum*inv%mod;return sum;
}
int main(){
    freopen("c.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%s",s[i]+1);
    for (int i=1;i<=n;++i) 
        for (int j=1;j<=m;++j) 
            if (s[i][j]=='1') pt[++tot].x=i,pt[tot].y=j;
    sort(pt+1,pt+tot+1,cmpx);int now=1;inv=ksm(tot,mod-2);
    for (int i=1;i<=n;++i){
        prex[i]=prex[i-1];nprex[i]=nprex[i-1];
        while(now<=tot&&pt[now].x<=i){
            prex[i]+=pt[now].x;prex[i]%=mod;
            ++nprex[i];++now;
        }
    }now=tot;//printf("%lld\n",1ll*16*ksm(7,mod-2)%mod);
    for (int i=n;i;--i){
        sufx[i]=sufx[i+1];nsufx[i]=nsufx[i+1];
        while(now&&pt[now].x>=i){
            sufx[i]+=n-pt[now].x;sufx[i]%=mod;
            ++nsufx[i];--now;
        }
    }sort(pt+1,pt+tot+1,cmpy);
    now=1;
    for (int i=1;i<=m;++i){
        prey[i]=prey[i-1];nprey[i]=nprey[i-1];
        while(now<=tot&&pt[now].y<=i){
            prey[i]+=pt[now].y;prey[i]%=mod;
            ++nprey[i];++now;
        }
    }now=tot;
    for (int i=m;i;--i){
        sufy[i]=sufy[i+1];nsufy[i]=nsufy[i+1];
        while(now&&pt[now].y>=i){
            sufy[i]+=m-pt[now].y;sufy[i]%=mod;
            ++nsufy[i];--now;
        }
    }int ans=0;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        for (int j=1;j<=m;++j){
            //printf("%d\n",gao(i,j));
            ans^=gao(i,j);
        }
    }printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

icefox大爷的代码(icefox天下第一！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 2010
#define mod 1000000007
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,m,s1[N],s2[N],tot,f1[N],f2[N],ans=0;
char s[N];
inline void inc(int &x,int y){x+=y;x%=mod;}
inline int ksm(int x,int k){
    int res=1;for(;k;k>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(k&1) res=(ll)res*x%mod;return res;
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%s",s+1);
        for(int j=1;j<=m;++j){
            if(s[j]=='0') continue;
            s1[i]++;s2[j]++;++tot;
        }
    }for(int i=2;i<=n;++i) inc(f1[1],(i-1)*s1[i]);
    int tmp=s1[1];
    for(int i=2;i<=n;++i){
        f1[i]=f1[i-1]-(tot-tmp)+tmp;f1[i]=(f1[i]%mod+mod)%mod;
        tmp+=s1[i];
    }for(int i=2;i<=m;++i) inc(f2[1],(i-1)*s2[i]);
    tmp=s2[1];
    for(int i=2;i<=m;++i){
        f2[i]=f2[i-1]-(tot-tmp)+tmp;f2[i]=(f2[i]%mod+mod)%mod;
        tmp+=s2[i];
    }tot=ksm(tot,mod-2);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j){
            ans^=(ll)(f1[i]+f2[j])*tot%mod;
        }printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

d题

设dp[t][i][j]表示t时间在i,j的方案且上一次没有移动

dp1[t][i][j][k]表示ti时间在i,j的方案且上一次移动方向i是k

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[2][202][202],dp1[2][202][202][4];
int dx[]={1,-1,0,0};
int dy[]={0,0,1,-1};
int n,m,T,X1,Y1,D,x2,y2;
const int mod=1e9+7;
inline int inc(int x,int v){
    return x+v>=mod?x+v-mod:x+v;
}
inline int gao(int x,int y){
    return max(abs(x-X1),abs(y-Y1));
}
int main(){
    freopen("d.in","r",stdin);
    scanf("%d%d%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&T,&X1,&Y1,&D,&x2,&y2);
    //X1=123321,Y1=123321;
    dp[0][1][1]=1;int pre=0,now=1;
    for (int t=0;t<T;++t){
        memset(dp[now],0,sizeof(dp[now]));memset(dp1[now],0,sizeof(dp1[now]));
        for (int i=1;i<=n;++i){
            for (int j=1;j<=m;++j){
                for (int k=0;k<4;++k){
                    int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
                    if(x<1||x>n||y<1||y>m) continue;
                    dp1[now][x][y][k]=inc(dp1[now][x][y][k],dp[pre][i][j]);
                }dp[now][i][j]=inc(dp[now][i][j],dp[pre][i][j]);
                if (gao(i,j)>D){
                    int sum=0;
                    for (int k=0;k<4;++k){
                        sum=inc(sum,dp1[pre][i][j][k]);
                    }
                    for (int k=0;k<4;++k){
                        int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
                        if(x<1||x>n||y<1||y>m) continue;
                        dp1[now][x][y][k]=inc(dp1[now][x][y][k],sum);
                    }dp[now][i][j]=inc(dp[now][i][j],sum);
                }else{
                    //dp[now][i][j]=inc(dp[now][i][j],dp[pre][i][j]);
                    for (int k=0;k<4;++k){
                        int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
                        dp[now][i][j]=inc(dp[now][i][j],dp1[pre][i][j][k]);
                        if(x<1||x>n||y<1||y>m) continue;
                        dp1[now][x][y][k]=inc(dp1[now][x][y][k],dp1[pre][i][j][k]);
                    }
                }
            }
        }pre^=1;now^=1;
    }int ans=0;
    for (int i=0;i<4;++i) ans=inc(ans,dp1[pre][x2][y2][i]);
    ans=inc(ans,dp[pre][x2][y2]);printf("%d\n",ans);
    return 0;
}