bzoj2830 随机树

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博客探讨了bzoj2830题目的解法，主要涉及随机树的平均深度期望问题。第一部分解释了如何计算叶子节点为x的平均深度期望，指出每次增加的期望为2/x。第二部分通过期望公式阐述了如何求解树中任意点的深度大于等于某一值的概率，并给出dp状态转移方程，同时考虑了容斥原理进行修正。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://www.elijahqi.win/archives/3673
题面：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3830

第一问设dp[x]表示叶子节点为x的叶子节点的平均深度期望首先知道每次一定是在dp[i-1]的基础上+2 并且那么这个答案最后就是 2对于i个叶子节点每种情况贡献的平均值都是2/x
第二问
考虑对于一个随机变量x的期望等于 $\sum\limits_{i=1}^{i<=x} p[i]$ 即等于所有小于等于x的概率相加的和
设dp[i][j]表示对于树我们现在点数是i 深度大于等于j的概率那么最后的期望显然就是把1~n的这些概率相加即可
然后考虑dp 枚举左右子树分别的节点数然后只要他们的深度是j-1 然后加上新的即可但是枚举左右子树的时候对于两边同时深度>=j的情况其实是枚举了两遍容斥一下最后除以i-1种情况即可得到概率

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
double f[N],dp[N][N];
int n,q;
namespace sol1{
    inline void gao(){
        f[1]=0;
        for (int i=2;i<=n;++i) f[i]=f[i-1]+2.0/i;printf("%f\n",f[n]);
    }
}
namespace sol2{
    inline void gao(){
        for (int i=1;i<=n;++i) dp[i][0]=1;
        for (int i=2;i<=n;++i){
            for (int j=1;j<i;++j){
                for (int k=1;k<i;++k){
                    dp[i][j]+=dp[k][j-1]+dp[i-k][j-1]-dp[k][j-1]*dp[i-k][j-1];
                }dp[i][j]/=i-1;
            }
        }double ans=0;
        for (int i=1;i<=n;++i) ans+=dp[n][i];
        printf("%f\n",ans);
    }
}
int main(){
    freopen("bzoj2830.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&q,&n);
    if (q==1) {sol1::gao();return 0;}
    else sol2::gao();
    return 0;
}