bzoj2830/luogu3830 随机树（期望与概率dp）

最新推荐文章于 2020-06-06 11:43:00 发布

Icefox_zhx

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分类专栏： bzoj ---------数学--------- 容斥原理概率与期望 ---------dp-----------

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本文探讨了二叉树中叶子节点的平均深度期望及树深度概率的问题，并提供了具体的数学推导过程和C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先第一问，我们设 $f[i]$ 表示i个叶子的树的叶子平均深度的期望
那么有转移 $f[i]=\frac{f[i-1]*(i-1)-f[i-1]+(f[i-1]+1)*2}{i}$
即 $f[i]=f[i-1]+2/i$

对于第二问，我们考虑 $f[i][j]$ 表示i个叶子的树深度≥j的概率。
那么n个叶子的树的深度的期望显然就是 $\sum\limits_{i=1}^nf[n][i]$
我们枚举左右两棵子树的点数来转移：
$f[i][j]=f[k][j-1]+f[i-k][j-1]-f[k][j-1]*f[i-k][j-1]$
注意最后容斥掉重复的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 110
inline char gc(){
    static char buf[1<<16],*S,*T;
    if(T==S){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
namespace sol1{
    int n;double f[N];//f[i]--i个叶子的树的叶子平均深度的期望
    inline void work(){
        n=read();f[1]=0;
        for(int i=2;i<=n;++i) f[i]=f[i-1]+2.0/i;
        printf("%.6lf\n",f[n]);
    }
}
namespace sol2{
    int n;double f[N][N];//f[i][j],i个叶子的树深度≥j的概率
    inline void work(){
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;++i) f[i][0]=1;
        for(int i=2;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<i;++j){
                for(int k=1;k<i;++k)
                    f[i][j]+=f[k][j-1]+f[i-k][j-1]-f[k][j-1]*f[i-k][j-1];f[i][j]/=i-1;
            }
        double ans=0;
        for(int i=1;i<=n;++i) ans+=f[n][i];
        printf("%.6lf\n",ans);
    }
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    if(read()==1) sol1::work();
    else sol2::work();
    return 0;
}