bzoj 3143 [Hnoi2013]游走

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高斯消元

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本文探讨了一种在无向连通图中通过合理编号边来最小化随机游走总分期望值的问题。采用高斯消元算法计算到达各点的概率，并通过贪心策略对边进行编号，最终求得期望值最小的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://www.elijahqi.win/archives/3382
Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。
Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。
Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。
Sample Input
3 3
2 3
1 2
1 3
Sample Output
3.333
HINT
边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。
Source

非官方数据

由高斯消元求出到达每个点的概率然后每条边的使用概率是设x,y为边的两端则w[i]=ans[x]/d[x]+ans[y]/d[y] 然后排序贪心编号即可

高斯消元解方程的过程等同于我当前这个点系数为1 然后 j点转移过来的概率为点1/j的度数

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline char gc(){
    static char now[1<<16],*S,*T;
    if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
const int N=510;
double a[N][N],w[N*N],ans[N]; 
struct node{
    int x,y,next;
}data[N*N],edge[N*N];
int num,tot,d[N],n,m,h[N];
inline void gauss(){
    for (int i=1;i<n;++i){
        double mx=a[i][i];int id=i;
        for (int j=i+1;j<n;++j)
            if (fabs(a[j][i])>fabs(mx)) mx=a[j][i],id=j;
        if (id!=i) swap(a[id],a[i]);
        for (int j=i+1;j<n;++j){
            double t=a[j][i]/a[i][i];
            for (int k=i;k<=n+1;++k) a[j][k]-=a[i][k]*t;
        }
    }
    for (int i=n;i;--i){
        for (int j=i+1;j<=n;++j) a[i][n+1]-=ans[j]*a[i][j];
        ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
    }
}
int main(){
    freopen("bzoj3143.in","r",stdin);
    n=read();m=read();
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int x=read(),y=read();edge[i].x=x;edge[i].y=y;++d[x];++d[y];
        data[++num].y=y;data[num].next=h[x];h[x]=num;
        data[++num].y=x;data[num].next=h[y];h[y]=num;
    }a[1][n+1]=1;a[n][n]=1;
    for (int x=1;x<n;++x){a[x][x]=1;
        for (int i=h[x];i;i=data[i].next){
            int y=data[i].y;if (y==n) continue;
            a[x][y]-=1.0/d[y];
        }
    }
    gauss();
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int x=edge[i].x,y=edge[i].y;
        w[i]=ans[x]/d[x]+ans[y]/d[y];
    }sort(w+1,w+m+1);double ans1=0;
    for (int i=1;i<=m;++i) ans1+=w[i]*(m-i+1);
    printf("%.3f\n",ans1);
    return 0;
}