求N!末尾0的个数

最新推荐文章于 2021-04-21 14:41:34 发布

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本文探讨如何高效地计算一个整数N的阶乘N!末尾0的个数。通过分析N!的因数分解，发现只需关注2和5的个数，特别是5的个数，因为2的个数总是大于5的。方法一是优化循环条件，从1开始每隔5个数检查；方法二是通过累加N除以5的整数部分及其更高次幂的整数部分。这种方法类比于求二进制中末尾0的个数，进一步优化了计算效率。

题目：给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。

方法一：

最容易想到的方法，先把N的阶乘求出来，再用一个函数计算末尾0的个数，但是这个方法有两个问题：当数字很大时，效率很差、用内置类型（int、long等）会溢出。要解决这两个问题，只能优化算法。

首先要知道N的阶乘一定可以用K×10^M来表示，那我们的问题就变成了求M。又因为10 只能分解成 2 * 5，所以只需要求出 2 的个数和 5 的个数中的最小值，就得到了M。而任何数因数分解后，2 的个数一定多于 5 的个数（因为2的倍数比5的倍数多），所以这个题最后又变成了求 5 的个数。

可知 5 的倍数一定是隔 5 个数字出现一次，那么就可以修改一下循环条件不需要从1开始。

int NumOf0(int n){
	int num = 0;
	for (int i = 5; i <= n; i += 5){
		int j = i;
		/*每除得一个5，就说明末尾有一个0*/
		while (j % 5 == 0){
			num++;
			j /= 5;
		}
	}
	return num;
}

方法二：

上面得到了结论：求出 5 的个数就是末尾0的个数。随着数字的增加，能提取出来的 5 的个数越来越多，循环次数会增加，为了减少循环次数，我们可以提取5 ， 5^2， 5^3 ……可以提高效率5 的个数 Y 可得到公式：Y = [N/5] + [N/5²] + [N/5³] + …

int NumOf0_fast(int n){
	int num = 0;
	
	while (n != 0){
		num += n / 5;
		n /= 5;
	}
	
	return num;
}

类似问题：求N!的二进制表示中最低位1的位置。

这个问题相当于求N!的二进制中末尾0的个数，而对于二进制来说每乘2就会有一个0。所以问题又变成了求N!中 2 的个数。方法和上面相同，只需要把代码中的5换成2 就可以。